10. Функция распределения случайной величины, ее определе­ние, свойства и график.

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

Общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

☺ Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность. ☻

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

☺ Пусть и - точки числовой оси, причем > . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .

Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения:

или откуда .

Так как вероятность , то , т.е. - неубывающая функция. ☻

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

.

☺ как вероятность невозможного события .

как вероятность достоверного события . ☻

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна при ращению ее функции распределения на этом интервале, т.Е.:

.

☺ Формула следует непосредственно из формулы . ☻

10. Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дис­персия нсв.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома).

Н а рис. 3.7 показана Функция распределения непрерывной случайной величины Х, дифференцируемая во всех точках, кроме трех точек излома.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

☺ Покажем, что для любого значения случайной величины Х вероятность . Представим в виде .

Применяя свойство функции распределения случайной величины Х и учитывая непрерывность F(x), получим:

. ☻

Из приведенной выше теоремы следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события, так как событие, состоящее в том, что случайная величина Х приняла конкретное значение , является возможным.

Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

.

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: . При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .