Обработка результатов косвенных измерений.
Косвенные измерения – это измерения, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми посредством прямых измерений.
,
где F – известная функция;
А и В – величины, которые мы находим посредством прямых измерений.
Погрешность найдем с помощью разложения данной функции в ряд Тейлора. Имеем:
Ограничимся в данном разложении только первыми линейными членами ряда Тейлора. Отсюда имеем:
Полная погрешность имеет две составляющих: систематическую и случайную.
Систематическую погрешность определяют с помощью выражения:
Случайная погрешность. Для ее оценки вычисляют СКО. Так как, измеряемые величины обычно независимо, то коэффициент корреляции (rАВ) равен 0. Это позволяет СКО определить по более простой формуле:
Результат косвенного измерения может быть записан в виде
Пример:
Измеряем значение мгновенной мощности
Обработка результатов совокупных и совместных измерений.
Данные измерения производятся для установления взаимосвязи между определяемыми параметрами и параметрами, которые мы находим с помощью прямых измерений.
Имеем:
,
где Qi – определяемые нами параметры, заданные функцией Fi,
А, В и С – измеряемые физические величины.
После их подстановки имеем:
Это было бы верно, если измеряемые значения Аi, Bi, Ci не содержали бы погрешностей, поэтому данное равенство не выполняется. Переводится оно в равенство за счет ввода дополнительного слагаемого, которое учитывает погрешности измерения. Это дополнительное слагаемое Vi называется невязкой. Задача обработки результата измерения в этом случае состоит в том, чтобы найти такие оценки параметра Q, чтобы сумма квадратов невязок была бы минимальной, то есть уравнение
удовлетворяло условию
Требование минимизации можно записать в виде:
Этот подход определения параметров
уравнения связи носит название метода
наименьших квадратов. Функция
нескольких переменных
достигает минимума в точке, где все ее
частные производные равны 0. Отсюда
получаем систему уравнений, позволяющую
определить все интересующие нас параметры
(Q1; Q2;
… Qm).
где j = 1, 2, 3 … m (m – число определяемых параметров),
n – числоизмерений.
При найденном уравнении связи погрешность измерения далее, определяется как для косвенного измерения.
Лекция № 7.
Стандартные формы представления результатов измерения.
Согласно ГОСТу 8.011-72 точность измерения, после обработки результатов наблюдений, может быть выражена одним из следующих четырех способов.
I способ:
Погрешность измерения выражается интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения. Форма представления:
.
Пример:
.
При симметричном интервале погрешности, форма представления результата измерения упрощается:
.
В нашем примере имеем:
.
Замечание: Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.
Пример:
.
II способ:
Погрешность измерения представляется интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая погрешности. Случайная составляющая погрешности определяется стандартной аппроксимацией функции распределения и среднеквадратическим отклонением случайной составляющей погрешности. Форма представления:
,
III способ:
Погрешность измерения определяется стандартными аппроксимациями функций распределения систематической и случайной составляющих погрешности и их среднеквадратическими отклонениями. Форма представления:
,
.
IV способ:
Погрешность измерения определяется реальными функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения. Форма представления:
,
.
Примечание: Обе функции распределения должны задаваться в одинаковой форме.
Замечание: Выбор способа, в котором выражается точность измерения, и форма записи результата измерения определяется назначением измерения и регламентируется соответствующими нормативно техническими документами.