6. Классификация проекций по характеру искажений.

Равновеликие проекции сохраняют площади без искажений. Такие проекции удобны для измерения площадей объектов. Однако в них особенно значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий. Например, на карте мира (рис. 4Аа) приполярные области выглядят сильно сплющенными.

Равноугольные проекции — оставляют без искажений углы и формы контуров, показанных на карте (ранее такие проекции называли конформными). Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются (рис. 4.4в). Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, оставленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей.

Равнопромежуточные проекции — произвольные проекции, в которых масштаб длин по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам — в них без искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопромежуточные по параллелям — в них сохраняется постоянным масштаб вдоль параллели. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они как бы уравновешиваются (рис. 4.46).

Произвольные проекции — это все остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Скажем, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям.

Показатели искажений. Поверхность эллипсоида нельзя развернуть на плоскости подобно поверхности конуса или цилиндра. Поэтому непрерывность и однозначность изображения достигаются как бы за счет неравномерного растяжения (или сжатия), т.е. деформации поверхности эллипсоида при совмещении её с плоскостью. В теории картографических проекций доказывается, что бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида в общем случае изображается на плоскости эллипсом, называемым - эллипсом искажений. Это значит что масштаб изображения зависит не только от положения точки, но может изменяться в данной точке с переменой направления. Эллипс искажений характеризует для этой точки величины искажений длин, площадей и углов.

Различают главный масштаб dS, ГЛАВНЫЙ МАСШТАБ указывается (подписывается) на карте; он представляет собой степень уменьшения земного шара до размеров глобуса, поверхность которого переносится на карту. Главный масштаб остается неизменным вдоль одной или нескольких линий (меридианов или параллелей). Прочие масштабы называются частными. Частный масштаб dS' Частный масштаб (в данной точке) - это отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к соответствующей длине бесконечно малого отрезка на местности. На планах, охватывающих малую часть земной поверхности, масштаб практически повсюду постоянен. Отношение частного масштаба к главному, обозначаемое через µ (мю), характеризует искажение длин. µ=dS'/dS.

Наряду с искажениями длин различают искажения площадей и углов. За искажение площади в некоторой точке карты принимают отношение площади эллипса искажений dP' к площади dP соответствующего бесконечно малого круга на эллипсоиде, обозначемое через р: p=dP'/dP

Искажением угла называют разность между углом, образованным двумя линиями на эллипсоиде, и изображением этого угла на карте. Величина искажения углов в данной точке характеризуется наибольшим значением этой разности ω (омега).

Показатели искажений. Для оценки достоинств проекции используют показатели искажения площадей р и углов ω,

Определяемые при вычислении проекции. Определение этих величин для ряда точек картографической сетки и последующее проведение по ним изокол – линий, соединяющих точки с одинаковыми значениями искажений площадей и углов, дает наглядную картину распределения искажений и позволяет учитывать искажения при пользовании картой.

Распределение искажений…

В нормальных цилиндрических проекциях изоколы располагаются параллельно экватору (или параллелям сечения); в нормальных конических проекциях - параллельно параллели касания (или параллелям сечения); в нормальных азимутальных проекциях изоколы параллельны концентрическим окружностям параллелей. Очевидно, нормальные цилиндрические проекции целесообразно применять для изображения экваториальной зоны и вообще территорий, вытянутых вдоль экватора; нормальные конические проекции - для территорий, лежащих в средних широтах и вытянутых с востока на запад (например, для России); нормальные азимутальные проекции - для полярных районов.

Также легко представить расположение изокол в поперечных и косых проекциях. Например, в поперечной цилиндрической проекции изоколы параллельны меридиану касания, и, следовательно, такие проекции выгодны для передачи территорий, вытянутых вдоль этого меридиана с севера на юг. В любой азимутальной проекции изоколы образуют окружности, концентрические относительно точки касания плоскости (рис. 2.14 и 2.15); поэтому азимутальные проекции удобны для территорий округлой формы (при центральном положении точки касания). В произвольных проекциях изоколы могут образовывать сложную систему кривых линий (см. рис. 2.8). В математической картографии доказывается, что при изображении конкретных территорий наименьшие искажения обеспечиваются проекциями, у которых изоколы по своей форме близки к общему контуру картографируемой территории.

Важно знать, что при наличии картографической сетки величина искажений может быть определена на любом участке карты, еслв даже проекция не указана. Для этого достаточно определить в соотвествующем месте карты масштабы по меридиану и параллели т и п, а также угол θ между меридианом и параллелью. Для нахождения величин т и п следует: а) измерить дуги меридиана и параллели возле соответствующей узловой точки картографической сетки; б) определить масштаб по меридиану и параллели посредством деления полученных величин на длины соответствующих дуг эллипсоида (заимствуемые из картографических таблиц). Найти величины т и п посредством деления масштабов по меридиану и параллели на главный масштаб. Угол θ между меридианом и параллелью измеряется транспортиром.

Для вычисления по величинам т, п и углу θ значений а, b, р, и угла θ математическая картография дает следующие несложные формулы:

(2.4)

(2.5), (2.6)

(2.7)

Если главные направления совпадают с меридианами и параллелями, т. е. когда меридианы и параллели сетки взаимно перпендикулярны, то а=т, b=п (или а=п, b=т) и формулы приобретают вид

(2.8)