1. Входные и передаточные функции неуравновешенного пассивного четырёхполюсника

Коэффициент передачи напряжения представляет собой отношение напряжений на выходе и входе четырёхполюсника, а входное сопротивление – отношение напряжения к току на входе четырёхполюсника. Если четырёхполюсник содержит реактивные элементы, сопротивление которых зависит от частоты, то в установившемся режиме коэффициент передачи напряжения и входное сопротивление являются соответственно передаточной частотной характеристикой по напряжению и частотной характеристикой входного сопротивления.

Расчёт входных и передаточных характеристик может быть осуществлен любым из методов, позволяющих определить токи и напряжения в ветвях цепи при заданном напряжении на её входе, а выбор наиболее рационального из них в каждом конкретном случае зависит от конфигурации цепи. На практике часто используются четырёхполюсники, имеющие соединение общим проводом одного из входных зажимов с одним из выходных зажимов. Для четырёхполюсника, проведённого на рис. 1 такими являются зажимы   и  .

Рис. 1. Неуравновешенный четырёхполюсник

Для таких четырёхполюсников передаточную характеристику по напряжению удобно определять методом узловых проводимостей, основанном на методе узловых потенциалов. Приняв потенциал узла “ ” равным нулю   и подключив ко входным зажимам четырёхполюсника генератор сигналов, например идеальной источник тока  , можно составить систему узловых уравнений для узлов, потенциалы которых  ,  ,   и  неизвестны. В данном случае использование в качестве генератора сигналов на входе четырёхполюсника источника тока удобнее из-за отсутствия у него внутренней проводимости. Комплексные проводимости ветвей, соединяющих два соседних узла для рассматриваемой схемы

,  ,  ,  , 

(узлы “а” и “с”, “а” и “е” не соединены ветвями непосредственно).

Суммы проводимостей ветвей, подключённых к каждому узлу  ;

,  ,  .

Система узловых уравнений для схемы на рис. 1 в общем виде

                  .                                                            (1)

В матричной форме система (1) примет вид:

                   .                                                         (2)

В качестве одной из проверок правильности составления матрицы узловых проводимостей можно использовать свойство её симметрии относительно главной диагонали “ ”. Решив систему (2) методом Крамера (с помощью определителей) получим:

                       ;  ,                                                                                             (3)

где   – определитель матрицы узловых проводимостей;   и   – определители, полученные из матрицы узловых проводимостей заменой столбцов соответственно с индексом “а” и индексом “е” на столбец свободных членов.

Поскольку напряжения  ,  , а  , то передаточная характеристика по напряжению

                    .                                                                                   (4)

Из этого выражения видно, что для определения   описанным методом не нужно вычислять напряжения, потенциалы и даже определить системы  , что существенно упрощает численные расчеты.

Для схемы рис. 1 из уравнений (2)

;

(5)

.

В уравнениях (5) определитель   раскрыт по элементам первого столбца, а   – по элементам четвёртого столбца;  ,   – соответственно номера строки и столбца элемента матрицы узловых проводимостей, имеющего индекс входного узла  ;  ,   – номера строки и столбца элемента матрицы узловых проводимостей, имеющего индексы искомых потенциалов  ;   и   – миноры элементов   и   в матрице узловых проводимостей системы (2).

Подставив (5) в (4) получим передаточную характеристику по напряжению в общем виде

                                     .                                                                (6)

Таким образом, для определения   достаточно составить матрицу узловых проводимостей по схеме четырёхполюсника, вычёркиванием в ней строки и столбца с элементом   получить  , вычёркиванием строки и столбца с элементом   получить  , определить номера  ,  ,  ,   и подставить в выражение (6).

Для рассматриваемого четырёхполюсника при   Ом,   Ом,   Ом,   Ф,   Гн,   Ом,   Ом

Аналогично определяется и другой минор:

.

Учитывая, что для рассматриваемого примера  ,  ,  , получим по выражению (6):

                      .                               (7)

Входное сопротивление четырёхполюсника относительно зажимов   (рис. 1) определяется отношением напряжения   к току 

.

Определитель матрицы узловых проводимостей  удобно раскрывать по элементам того столбца или строки, которые содержат наибольшее количество нулевых элементов  , поэтому раскрываем его по элементам первого столбца (см. систему (2)):

Частотная характеристика входного сопротивления примет вид:

                      .                                             (8)

В общем виде входные и передаточные частотные характеристики линейных пассивных четырёхполюсников являются дробно - рациональными и для цепей второго порядка (содержащих 2 реактивных элемента) имеют вид:

                      ,                        (9)

где  .

Для того, чтобы эти характеристики соответствовали реальным четырёхполюсникам, составленным из  ,  ,  , функция   должна удовлетворять определённым требованиям. Некоторые свойства передаточных частотных характеристик (в том числе   по выражению (7)):

1) В знаменателе   все коэффициенты   должны быть вещественными положительными числами.

2) В числителе   все коэффициенты   – вещественные, некоторые могут быть равны нулю.

3) Высшая степень знаменателя равна порядку цепи, а числителя – ниже или равна высшей степени знаменателя.

Некоторые свойства входных частотных характеристик (в том числе   по выражению (8)):

1) Все коэффициенты числителя   и знаменателя   должны быть вещественными и положительными.

2) Высшие степени числителя   и знаменателя   не могут отличаться более чем на единицу, то же и для наименьших степеней.

Эти свойства частотных характеристик можно использовать для предварительной проверки полученных выражений (7) и (8).

Численную проверку этих выражений необходимо провести на частотах   и  . При этом схема четырёхполюсника на рис.1 упрощается за счёт того, что при    ,  , а при    ,  .

Для частоты   схема рассматриваемого четырёхполюсника примет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Схема четырёхполюсника при 

Расчеты частных характеристик для этого режима могут быть выполнены теми же способами, что описаны выше. Так в рассматриваемой схеме уравнения второго закона Кирхгофа для контура ( )  . Поэтому  ;   при любом напряжении  . Поэтому коэффициент передачи напряжения на постоянном токе

.

Такой же результат получается при подставке   в выражение (7).

Входное сопротивление рассматриваемого четырёхполюсника на постоянном токе

 Ом.

При подставке   в выражение (8) получим практически тот же результат:

 Ом.

При   рассматриваемый четырёхполюсник примет вид, показанный на рис. 3.

Рис. 3. Схема четырёхполюсника при 

Здесь сопротивление участка   равно нулю, поэтому   подключено параллельно   и входное напряжение

                            .                   (10)

Напряжение нагрузки (выходное)

.

Тогда коэффициент передачи напряжения при 

.

ри подстановке   в выражение (7) получим  .

Входное сопротивление четырёхполюсника при   можно определить из выражения (10):

 Ом.

При подставке   в выражение (8) получим   Ом.