§ Основные правила дифференцирования функций
Основные правила дифференцирова-ния функций |
Пусть с
– константа, а
|
и
имеют производные в некоторой точке
x.
Тогда функции
,
,
и
(где
)
также имеют производные в этой точке,
причем
- производная
суммы
функций равна сумме производных этих
функций;
- производная
произведения
функций
равна сумме произведений производной
первой функции на вторую и первой
функции на производную второй;
,
- постоянный
множитель
выносят за знак производной;
- производная
отношения двух функций (частного)
равна отношению разности произведений
производной числителя на знаменатель
и числителя на производную знаменателя
к квадрату знаменателя;
имеет производную в точке
,
а функция
- в точке
.
Тогда сложная
функция
также имеет производную в точке
,
причем
- производная
сложной функции равна производной
этой функции по промежуточному
аргументу u,
умноженной
на производную от промежуточного
аргумента u
по основному аргументу x.
Теорема о производной обратной функции |
Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и
дифференцируема в этой точке, то
обратная функция
|
имеет
производную в точке
,
причем
.
Теорема о производной параметрически заданной функции |
Если функция
задана
параметрически дифференцируемыми в
точке
|
функциями
, причем одна из них, например,
непрерывна
и строго монотонна в некоторой
окрестности точки
и
.
Тогда
.
§ Производные и дифференциалы высших порядков
Определение производной второго порядка |
Производная от
функции
|
(производной первого порядка) называется
производной второго порядка от функции
(или второй производной) и обозначается
.
Определение производной n– го порядка |
Производная от
функции
|
(производной эн-минус первого порядка)
называется производной энного порядка
от функции
(или энной производной) и обозначается
.
,
поскольку при
каждом последовательном дифференцировании
добавляется множитель
.
Производная высших порядков параметрически заданной функции |
Производная
второго порядка функции, заданной
параметрически уравнениями
а
производная энного порядка – по
формуле:
|
,
может быть найдена по формуле:
,
.
Найдем сначала
производную первого порядка функции
.
.
Производная второго
порядка данной функции равна
.
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ
Теорема Ферма. Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.
Геометрический
смысл этой теоремы состоит в том, что
касательная к графику функции у = f (х)
в точке с абсциссой с параллельна
оси абсцисс (рис.).
Теорема
Ролля. Если
функция у = f (х),
непрерывная на отрезке [а ; b]
и дифференцируемая в интервале
(а ; b),
принимает на концах этого отрезка равные
значения f (a)
= f (b),
то в интервале (а ; b)
существует такая точка с,
что f ′(с)
= 0.
Геометрически
эта теорема означает следующее: если
крайние ординаты кривой у = f (х)
равны, то на кривой найдется точка, в
которой касательная параллельна оси
абсцисс (рис.).
Теорема
Лагранжа. Если
функция у = f (х)
непрерывна на отрезке [а ; b]
и дифференцируема в интервале
(а ; b),
то в этом интервале найдется такая
точка с,
что 
Эта
теорема имеет простой геометрический
смысл (рис.): на графике функции у = f (х)
между точками А и В найдется
такая внутренняя точка С,
что касательная к графику в точке Спараллельна
хорде АВ. 
Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.
Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];
2) дифференцируемы в интервале (а ; b);
3) g'(x) ≠ 0 в этом интервале,
то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство
Правило
Лопиталя представляет
собой метод вычисления пределов, имеющих
неопределенность
типа 
или 
.
Пусть a является
некоторым конечным действительным
числом или равно бесконечности.