3. Задача Джонсона

Постановка задачи:

Необходимо обработать на трех станках n деталей. У всех деталей одна и та же последовательность обработки: 1-й, 2-й и 3-й станки. Времена обработки деталей на каждом станке приведены в таблице:

Детали Станки	1	2	…	n	Σ
Станок 1	a1	a2	…	an	Σ ai
Станок 2	b1	b2	…	bn	Σ bi
Станок 3	c1	c2	…	cn	Σ ci

Требуется составить оптимальную последовательность обработки всех n деталей на этих станках, т.е. такую последовательность запуска деталей на обработку, для которой время окончания обработки на всех станках будет наименьшим.

Алгоритм решения

Эта задача решается методом ветвей и границ, для этого введем ряд параметров:

σ_k={i_1, i₂, …,i_k} –произвольная последовательность из k деталей;

σ_k+1={σ_k , i_k+1} – произвольная последовательность из k+1 деталей;

A(σ_k), B(σ_k) и C(σ_k) - моменты окончания обработки последовательности деталей σ_k на первом, втором и третьем станках соответственно. Для последовательности σ_k+1 аналогичные моменты можно вычислить по рекурентным формулам:

A(σ_k+1) = A(σ_k)+a_k+1;

B(σ_k+1) = max(A(σ_k+1),B(σ_k)) + b_k+1;

C(σ_k+1) = max(B(σ_k+1),C(σ_k)) + c_k+1.

О ценки:

δ _Ak= A(σ_k) +Σ a_i + min (b_i + c_i), по всем i Є σ_k (по всем деталям i не входящим в последовательность σ_k);

δ_Bk= B(σ_k) +Σ b_i + min c_i, по всем i Є σ_k;

δ _Ck= C(σ_k) +Σ c_i, по всем i Є σ_k.

Величина δ_Ak имеет смысл оценки окончания обработки всей последовательности деталей на всех станках. Таким образом, можно сказать, что обработка всех деталей на трех станках завершится не ранее чем через δ_{Ak ,} δ_Bk и δ_Ck.

Введем обозначение

ξ = max(δ_Ak, δ_Bk, δ_Ck)_,

тогда С(σ_n) ≥ ξ,

т.е. величина ξ является оценкой (нижней границей) момента окончания всех n деталей на трех станках, при условии, что последовательность σ_k прошла обработку на всех станках. Очевидно, если взять другую последовательность (из других номеров) деталей, то величина ξ может быть иной. Та из последовательностей σ_k, для которой ξ имеет меньшее значение, является более предпочтительной для рассмотрения в первую очередь.

Пример решения задачи Джонсона (задачи о трех станках)

Пусть условия задачи заданы следующей таблицей:

Детали Станки	1	2	3	4
Станок 1	4	8	3	8
Станок 2	10	12	7	9
Станок 3	6	8	4	9

0-й шаг, когда в последовательности 0 деталей:

Очевидно, что δ_A0 = δ_B0 = δ_C0.

Т огда

δ _A0= 0 +Σ a_i + min (b_i + c_i)=34, по всем i=1,n;

δ _B0= 0 +Σ b_i + min c_i= 42, по всем i=1,n;

δ_C0= 0 +Σ c_i = 27, по всем i=1,n;

Оценим перспективность каждого из подмножеств последовательностей обработки, т.е. для каждого из подмножеств необходимо вычислить их ξ_i, где i=1, 2, 3, 4.

Для i = 1:

A(σ₁) = A(σ_o)+a₁

B(σ₁) = max(A(σ₁),B(σ₀)) + b₁

C(σ₁) = max(B(σ₁),C(σ0)) + c₁

δ_A1= A(σ₁) +Σ a_i + min (b_i + c_i), по всем i ≠1;

δ_B1= B(σ₁) +Σ b_i + min c_i , по всем i ≠1;

δ_C1= C(σ₁) +Σ c_i , по всем i ≠1.

В таком случае, введем обозначение

ξ₁ = max(δ_A1, δ_B1, δ_C1) .

Теперь можно сказать, что если обработка деталей начнется с детали № 1, то закончится обработка не ранее чем через ξ₁.

Для i = 2:

A(σ₁) = A(σ_o)+a₂ ;

B(σ₁) = max(A(σ₁),B(σ₀)) + b₂

C(σ₁) = max(B(σ₁),C(σ₀)) + c₂

δ_A1= A(σ₁) +Σ a_i + min (b_i + c_i), по всем i ≠1;

δ_B1= B(σ₁) +Σ b_i + min c_i , по всем i ≠1;

δ_C1= C(σ₁) +Σ c_i , по всем i ≠1.

Найдем maxξ_2.

Аналогично вычисляем для других подмножеств.

Теперь можно сказать, какое подмножество на данном этапе является наиболее перспективным .

Все вычисления удобно проводить в такой таблице:

σk	A(σk)	B(σk)	C(σk)	ξk
	δAk	δBk	δCk

Перспективным является множество 1.

Разбиваем это множество возможных последовательностей обработки на подмножества. В этих подмножествах все последовательности начинаются деталью № 1, а вторые детали у них разные из оставшихся (кроме №1). После вычислений и сравнения оценок множеств получим перспективное множество (последовательность деталей σ₂={1,2}, последовательность обработки, начинающаяся деталями 1,2). И так далее. После выполнения последовательности из четырех шагов , получаем оптимальную последовательность обработки деталей:

σ₅*={3,4,1,2}с наименьшим временем обработки 43 часа.

т тттттттттттт

Варианты задачи Джонсона о трех станках: