3.15. Расчеты на прочность при кручении
Прочность
бруса работающего на кручение считают
обеспеченным, если наибольшее касательное
напряжение, возникающее в его опасном
сечении не превышает допустимых:
max
=< [
k]
Н
езначительное
превышение до 5 % расчетного напряжения
над допустимым не опасно. В точках
равноудаленных от центра сечения
напряжения одинаковы. Наибольшего
значения касательное напряжение
достигает в точках контура поперечного
сечения:
max=Mz
max/Ip
, где Ip
–полярный момент инерции.
Введем обозначение Wp= Ip/r – полярный момент сопротивления, т.е. отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу. Полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении.
max=Mz/Wp =<[ k] – для проверочного расчета прочности.
При проектном расчете и при определении допускаемой нагрузки из этой формулы находим момент сопротивления или крутящий момент:
Wp>=Mz/[rk] или [Mz]=<Wp[rk]
а
)Момент
сопротивления для круга:
б
)Момент
сопротивления для кольца:
Wx=0,1d3 ; Wp=0,2d3 ; Wp=2Wx
k=от 20 до 35 Мпа – для углеродистых сталей
3.16. Расчеты на жесткость при кручении
(есть рисунок в конспекте)
Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении.
Рассмотрим брус, жестко заделанный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом Mz. При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или по отношению к неподвижному сечению (заделки).
Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки.
Так для произвольного сечения I I, отстоящего от заделки на расстоянии z, угол равен ϕz. Для сечения II II угол — ϕz+dϕ, где dϕ — угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной dz.
Угол поворота произвольного сечения равен углу закручивания части бруса, заключенной между этим сечением и заделкой.
Угол поворота ϕ кольцевого сечения представляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса. За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания или угол закручивания на единицу длины вала.
Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинаковом во всех поперечных сечениях крутящем моменте равен закону Гука для кручения:
В отличие от допускаемого напряжения, зависящего от материала вала, допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала.
Условие жесткости при кручении:
—жесткость
сечения круглого бруса при кручении;
модуль
упругости 2-го рода, характеризует
жесткость материала;
геометрическая
характеристика жесткости.
Значение
допускаемого углового закручивания
лежит в широких пределах: от 0,25 до 1
градуса на метр.
3.17.Условие прочности вала при совместном действии крутящего и изгибающего моментов.
Расчет валов выполняется на основе 3 и 5 гипотез прочности.
Эквивалентное
напряжение:
;
,
;
Внешне формула для эквивалентного момента аналогична расчету зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, поэтому величину в числителе наз. Эквивалентным или приведенным моментом.
В
общем виде:
— условие прочности.;
Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчётной формуле используют эквивалентный момент, который зависит от изгибающего и крутящего моментов, а также от принятой гипотезе прочности.
При проектном расчете определяют требуемое значение момента сопротивления поперечных сил.
Понятие эквивалентный момент не имеет смысл при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения, не применимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого поперечного сечения испытывает растяжение или сжатие.
Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение называется опасным. Для нахождения опасного сечения иногда дополнительно строят эпюру изгибающего суммарного момента, а затем эпюру эквивалентного момента.