Глава 9. Нечеткое (размытое) управление

9.1. Управление в нечетких условиях

При управлении различными технологическими процессами необходимо обеспечить в реальном масштабе времени расчет и оптимизацию режима, который гарантированно будет лежать в области допустимых режимов и будет реализуем системами автоматического управления нижнего уровня иерархической системы управления. Стандартно применяемые методы мало подходят для решения задач такого класса ввиду низких скоростей сходимости вещественных итерационных методов типа метода Ньютона и возможности появления произвольных неконтролируемых ошибок в результатах при наличии погрешностей в исходных данных. Кроме того, в зависимости от имеющегося вида неопределенности при принятии решений необходимо обеспечить проведение на ЭВМ расчетов с интервальными и нечеткими величинами.

Например, особенности управления системами газоснабжения заключаются в том, что даже редкие колебания давлений и расходов сверх определенных пределов (прежде всего, прочностных) могут привести к авариям. Поэтому при управлении такими системами приходится ориентироваться на самое неблагоприятное (экстремальное) сочетание факторов неопределенности и использовать понятие гарантированного результата.

Наиболее перспективными для нахождения решений систем уравнений с учетом отмеченных особенностей работы алгоритмов реального времени в условиях неопределенности являются интервальные и нечеткие методы. Эти методы получили большое распространение при решении систем дифференциальных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, задач глобальной оптимизации.

Применение интервального анализа и различных минимаксных (гарантированных) подходов обладает целым рядом преимуществ:

 не требуется знания вероятностных характеристик неопределенных факторов, которые редко бывают точно известны на практике;

 при минимаксном подходе получают строгие оценки для самих искомых величин, а не для вероятностей или математических ожиданий, что имеет большое значение при наличии малого числа замеров параметров и одной или нескольких реализаций;

 статистические характеристики не могут гарантировать определенный исход одного конкретного опыта;

 во всех случаях даются гарантированные двусторонние аппроксимации искомых решений.

При минимаксном подходе операции над неопределенными величинами сводятся к соответствующим операциям над областями, однако даже в случае простых исходных областей неопределенности в результате операций над ними получаются области сложной формы, требующие для своего описания большого числа параметров. Поэтому на практике применяется аппроксимация области неопределенности классом областей, зависящим от фиксированного числа параметров: параллелепипедами, эллипсоидами и т. д. Ставятся и задачи минимизации объема результирующих областей неопределенности.

В общем случае точность интервального результата полностью определяется следующими четырьмя факторами:

1) неопределенностью в задании исходных данных;

2) округлениями при выполнении операций, изменяющих или порождающих интервальные объекты;

3) приближенным характером используемого численного метода;

4) степенью учета зависимостей между участвующими в вычислении интервальными объектами (переменными и константами).

Увеличение точности расчетов (уменьшение ширины результирующего интервала) достигается за счет компенсации влияния этих факторов. Задача получения для данного множества машинно-представимых чисел самого узкого интервала, содержащего объединенное расширение соответствующей рациональной функции, может ставиться как оптимизационная.

Для уменьшения погрешности округления используются изменение разрядности чисел, различные способы машинного представления и специальное упорядочение цепочки следующих друг за другом операций. А компенсация влияния четвертого фактора осуществляется путем предварительной обработки исходного алгоритма в процессе вычислений и апостериорно.

Широкое распространение интервальной арифметики обусловлено фактическим отсутствием конкурентоспособных подходов к построению надежного (в смысле гарантированности) и транспортабельности (по включению) программного продукта для решения численных задач. Интервальный подход позволяет навести математическую строгость в построении численных алгоритмов, которые традиционно основывались на аппроксимации точного значения одним «достаточно близким» к нему приближением. Для интервальных методов даются гарантированные двусторонние аппроксимации искомых решений, имеющие смысл наихудшего случая с точки зрения описания неопределенностей.

В связи с важностью понятий интервального анализа для теории нечетких множеств приведем основные понятия и методы.