8.3. Стабилизация систем управления

Рассматриваем систему стабилизации многомерным объектом в терминах Н^-теории. Стабилизируемая система управления имеет вид рис. 8.8.

Рис. 8.8. Система стабилизации

Через U₁(t) обозначен возмущающий входной сигнал, а через U₃  шум измерений.

Матричную передаточную функцию объекта управления представим через блоки

, (8.25)

где

Можно записать взаимосвязь сигналов и операторов объекта управления:

Y₁ = G₁₁U₁ + G₁₂E;

Y₂ = G₂₁U₁₁ + G₂₂E; (8.26)

E = U­₂ – W_p(Y₂ + U₃).

На основании приведенных соотношений получим следующие матричные уравнения:

(8.27)

(8.28)

(8.29)

Полученные соотношения перепишем в виде

. (8.30)

Система управления (рис. 8.8) называется внутренне устойчивой, если устойчивые все , т. е. на ограниченное воздействие по любому входу необходимо иметь ограниченную реакцию на выходах.

Если система внутренне устойчива, то можно сказать, что W_p стабилизирует объект управления G.

8.4. Условия стабилизации объекта управления с помощью регулятора

Если блоки передаточной матрицы объекта G₁₁(p), G₁₂(p), G₂₁(p) удовлетворяют пространству Н^ и регулятор W_p стабилизирует блок G₂₂(p), то и стабилизирует и G(p).

Существует теорема, утверждающая, что регулятор W_p стабилизирует G₂₂(p), а также G(p), если существует матрица

, (8.31)

которая принадлежит пространству Н^, а

, (8.32)

. (8.33)

Представление G₂₂ и W_p в виде произведения сомножителей называется их взаимно простой факторизацией. Предположим, что G₂₂(p) есть передаточная функция, которую можно представить дробно-рациональной функцией вида

. (8.34)

Полиномы M_G(p) и N_G(p) называются взаимно простыми, если не имеют общих сомножителей. Это условие переносится на случай матричных полиномов. Кроме того, они называются правыми взаимно простыми, если имеют одинаковое число столбцов и существуют такие матрицы и , что

. (8.35)

Если выполнена факторизация матричной передаточной функции

W(p) = M(p)N^1(p) (8.36)

такая, что M_G(p) и N_G(p) являются правыми взаимно простыми матрицами, то такое разложение называется правой взаимно простой факторизацией. Аналогично две матрицы M_G(p) и N_G(p) называются левыми взаимно простыми, если существуют матрицы и такие, что

. (8.37)

Если выполнена факторизация матричной передаточной функции в виде

, (8.38)

то называют данную операцию левой взаимно простой факторизацией. В H^-теории используется также понятие двойной взаимно простой факторизации. Такому условию соответствует представление матрицы W(p) в виде

. (8.39)

Этому условию будут соответствовать следующие соотношения:

; (8.40)

; (8.41)

; (8.42)

. (8.43)

Можно также записать соотношение

. (8.44)

Компоненты двойной взаимно простой факторизации выбирают в виде матричной передаточной функции устойчивой системы (включающей правые нули исходной системы) или обратной матричной передаточной функции неустойчивой системы с левыми нулями. Для этого необходимо выполнить размещение правых нулей W(p) в M(p) и неразмещение правых полюсов, а также размещение правых полюсов W(p) в N^1(p) и неразмещение правых нулей.

С учетом условия (8.31) можно проводить анализ имеющихся W(p) и G₂₂ с целью выявления устойчивости формируемой на их основе системы. Можно рассмотреть задачу синтеза регулятора W(p), который совместно с G₂₂ обеспечивает системе (рис. 8.9) наличие свойства (8.31).

Пусть W(p) можно записать в виде

,

где  произвольные дробно-рациональные матрицы, а для G₂₂ выполнено соотношение (8.32), удовлетворяющее двойной взаимно простой факторизации.

Для стабилизации системы должно выполняться условие (8.31).

Матрицам можно придать значения соответственно из соотношения (8.44). Тогда запишем условия

, , , . (8.45)

С учетом соотношений (8.44), (8.45) запишем выражение

. (9.46)

Тогда можно считать, что

принадлежит пространству H^, а эта матрица, согласно (8.46), играет роль

.

Откуда можно заключить, что обратная матрица также принадлежит H^ и соответственно прямая матрица удовлетворяет пространству H^.

Таким образом, выбор , в соответствии с условием (8.46) обеспечивает искомую стабилизацию G₂₂, а следовательно, и G.

Кроме того, выбор , в соответствии с условием (8.46) делает их компонентами двойной взаимно простой факторизации, что исключает сокращения в матричной передаточной функции системы и обеспечивает тем самым ее работоспособность.

Поскольку операция двойной взаимно простой факторизации не дает однозначного решения, то можно попробовать определить класс W_p(p), стабилизирующих G₂₂(p).

Известна теорема, утверждающая, что множество всех регуляторов, стабилизирующих G₂₂ (следовательно G), задается выражением

, (8.47)

где Q принадлежит H^.

Для любого Q имеем

. (8.48)

Если для G₂₂ выполняется двойная взаимно простая факторизация, то

. (8.49)

Умножим сначала последнее уравнение слева на

,

а затем справа на

.

В результате получим

. (8.50)

Ранее получено условие, что W_p, стабилизирующая G₂₂, должна быть представлена в виде двойной взаимно простой факторизации, компоненты которой отвечают (8.46). Сравнивая (8.46) с (8.50), находим, что элементы двойной взаимно простой факторизации W_p(p) должны быть вида

(8.51)

Условия (8.47) определяют область, в которой допускается неоднозначность выбора регулятора стабилизации, что позволяет обеспечить с помощью этого регулятора и определенные качественные показатели регулирования.