7.12. Адаптивное управление с эталонной моделью в переменных состояния

Пусть имеем полностью управляемый и полностью наблюдаемый объект управления вида

(7.121)

где А, В, Н, С – неизвестные матрицы чисел известных размеров n  n, n  m, r  n соответственно; g-m – мерный вектор задающих воздействий.

Необходимо найти регулятор, обеспечивающий близость вектора измеряемых переменных объекта относительно желаемого вектора, который задается эталонной моделью вида

(7.122)

где А_м, Н_м, С_м – известные матрицы чисел; Х_м – вектор состояний модели; Y_м – вектор выходов модели.

Цель адаптации

. (7.123)

Вначале рассмотрим решение данной задачи для случая y_i = x_i, , а размерность вектора управления равна размерности вектора переменных состояния при единичной матрице В.

7.13. Адаптивный регулятор обеспечивающий настройку коэффициентов уравнения состояния

В соответствии с принятыми упрощениями перепишем уравнение (7.121) в виде

, (7.124)

а уравнение модели

. (7.125)

Выберем элементы матрицы А_м такими, чтобы матрица А_м была гурвицевой, а структура регулятора в виде

, (7.126)

где C_I(t), C_II(t) – матрицы настраиваемых параметров регулятора.

Поскольку размерности матриц А, С_I и Н, С_II совпадают, то регулятор изменяет каждый из коэффициентов уравнения состояния и поэтому искомый алгоритм носит название алгоритма настройки коэффициентов уравнения состояния.

Замыкая уравнение (7.124), уравнением (7.126) и вычитая из него (7.125), имеем

(7.127)

где ; (7.128)

. (7.129)

Составим функцию Ляпунова:

, (7.130)

где R, Г, L – положительно определенные матрицы.

Пусть полная производная функции

(7.131)

равна из условий устойчивости e^TQe, где Q – положительно определенная матрица. Тогда имеем следующую систему матричных уравнений:

; (7.132)

; (7.133)

. (7.134)

Используя зависимости (7.128, 7.129) и считая что на интервале адаптации А, А_м, Н и Н_м остаются постоянными, перепишем выражения (7.133, 7.134) в виде

; (7.135)

. (7.136)

В результате имеем адаптивный регулятор:

. (7.137)

Уравнение (7.137) удовлетворяет поставленной задаче.

7.14. Адаптивное управление с использованием производных от выхода объекта

Пусть передаточные функции объекта имеют вид

(7.138)

где g(p), u(p), y(p) – есть задающая, управляющая и выходная переменные объекта.

Эталонная модель имеет аналогичную структуру:

. (7.139)

Уравнения (7.138) и (7.139) перепишем в виде

; (7.140)

. (7.141)

Примем закон адаптивного регулятора в виде

, (7.142)

где y(i) – i-тая производная y(t); _i(t) – настраиваемые параметры регулятора.

Подставляя (7.142) в (7.140) и вычитая из (7.140) уравнение (7.141), получим уравнение для ошибки e = y – y_м в виде

(7.143)

Введем векторы:

(7.144)

Используя векторы (7.144), запишем модель динамики ошибки в виде

. (7.145)

Построим функцию Ляпунова:

, (7.146)

где R – положительно определенная матрица, а  = diag[₀, …, _n] и [₀, …, _n больше нуля.

Полная производная функции (7.146) равна

(7.147)

Примем, что , где Q – положительно определенная матрица.

На основе уравнения (7.147) запишем

; (7.148)

. (7.149)

Принимая условие, что на интервале адаптации меняются во времени только коэффициенты _i, _n, перепишем уравнение (7.149) в виде

; (7.150)

. (7.151)

Вектор ℓ = [ℓ₀, …, ℓ_n1] определяют из выражения

. (7.152)

Из-за сложности получения производных высокого порядка этот алгоритм применим к системам невысокого порядка.