7.3. Алгоритмы оценки параметров

Существует большое число алгоритмов адаптивного оценивания параметра, т. е. отображения . Типичными алгоритмами в непрерывном случае являются:

градиентный спуск

(7.14)

метод наименьших квадратов

(7.15)

метод проектируемого градиента

(7.16)

где оператор Proj гарантирует, что не выходит за пределы области , известной априорно.

Исключив в обозначениях (7.5)(7.9) явную зависимость H_e и H_ от _, запишем основную адаптивную модель ошибки в виде

(7.17)

Исключив из этих уравнений e и v, получим:

(7.18)

Полученные уравнения отвечают виду уравнения (7.10), а, следовательно, их устойчивость можно анализировать с помощью теоремы об абсолютной устойчивости.

Для линеаризованного варианта уравнений (7.17), (7.18) основной задачей является установление экспоненциальной устойчивости дифференциального уравнения:

. (7.19)

Обычно H_ev и H_v – устойчивые конечномерные линейные системы, и в этих случаях модель ошибки (7.17), (7.18) можно записать в терминах пространства состояний.

Например, если

H_ev(s) = d + c^T(sI – A)^1b;

H_v(s) = D + c^T(sI – F)^1B

и их соответствующие состояния x(t) и z(t), то можно записать

(7.20)

Для линеаризации (20) заменим  на ^*:

(7.21)

Поскольку H_ – экспоненциально устойчивый линейный оператор, то нет необходимости рассматривать уравнение для  в линеаризованном виде.

Для адаптивных дискретных систем линеаризованные адаптивные уравнения ошибок можно записать в виде разностного уравнения:

. (7.22)

Для анализа устойчивости алгоритма будем использовать теорему об абсолютной устойчивости в дискретном случае для разностного уравнения вида

(7.23)

где A(k), f(k, x) и g(k, x) для каждого фиксированного Х в шаре x|  r являются ограниченными функциями и при x₁|  r, x₂|  r и k  k₀ выполняются следующие соотношения:

(7.24)

Согласно теореме, если невозмущенная система

X(k + 1) = A(k)X(k) (7.25)

экспоненциально устойчива, т. е. для постоянных 1 > a  0 и K  1 переходная матрица (k₂, k₁) удовлетворяет условиям |(k₂, k₁)|  K(k₂  k₁) при k₂  k₁  k₀,

то из

и K(₁ + ₂) +  < 1

следует, что при k  k₀

.

Рассмотрим один из таких градиентных методов.

Пусть известен порядок передаточной функции идентифицируемой адаптивной системы (объекта управления)

(7.26)

Настраиваемую модель запишем

. (7.27)

Пусть можно реализовать в виде отдельных звеньев полиномы числителя и знаменателя настраиваемой модели. Присоединим эти звенья к входным и выходным сигналам идентифицируемого объекта управления согласно структурной схеме (рис. 7.2).

Рис.7.2. Структурная схема объекта с настраиваемой моделью

Разность сигналов с выходов звеньев модели образуют сигнал ошибки

(7.28)

В качестве критерия качества идентификации можно принять

J = e²(t) (7.29)

и далее использовать алгоритм (7.14), (7.15).

Уравнение (7.28) можно реализовать для модели невысокого порядка (n  3). При более высоком порядке сложно точно вычислять производные входных и выходных сигналов. В связи с этим преобразуем передаточную функцию (7.26) путем деления числителя и знаменателя на полином (n1)-й системы с известными неравными отрицательными числами ₂, ₃, …, _n. Затем можно разложить полученные полиномы в виде

(7.30)

или в виде

(7.31)

По примеру уравнений (7.30), (7.31) введем аналогичные составляющие в состав модели в виде рис.7.3.

Рис.7.3. Структурная схема для идентификации параметров модели объекта

Модель описывается уравнением

(7.32)

Вычитая (7.31) из (7.32), получим уравнение ошибки идентификации.

(7.33)

Переменные Z_i, V_i доступны измерению вычисления. Относительно параметров ₀, …, ­_2n1 можно снова использовать градиентный метод:

(7.34)

где _i – коэффициенты усиления, выбираемые из условия сходимости процесса адаптации.