7.19. Синтез компенсационного адаптивного управления объектом с ограниченным возмущением
Пусть объект управления описывается уравнением
(7.210)
где bm bm,max.
Внешнее воздействие (k) является ограниченной последовательностью неизвестных чисел
,
(7.211)
где * – заданное число.
Пусть цель управления состоит в выполнении неравенства
,
(7.212)
где – заданное число, согласованное с уровнем внешних воздействий *; e(k + 1) – невязка значения, e(k + 1) могут быть различными в зависимости от назначения системы управления. Так, для системы стабилизации можно записать
,
(7.213)
где g(k) – задающее воздействие.
При слежении за эталонной моделью можно записать
,
(7.214)
где yм(k + 1) – выход эталонной модели на k + 1 такте.
Рассмотрим вначале случай отсутствия внешних возмущений (k) = 0. Здесь цель управления принимает вид
.
(7.215)
В соответствии с методом градиента направление движения в пространстве настраиваемых параметров (k) пропорционально производным функции
(7.216)
по настраиваемым параметрам і.
Это означает, что
,
(7.217)
где 
;
(7.218)
.
(7.219)
Для задачи (7.213) закон управления с учетом векторов (7.218), (7.219) примет вид
.
(7.220)
С учетом (7.220) запишем уравнение (7.210) в виде
.
(7.221)
Учитывая (7.221) производную в уравнении (7.217), перепишем в виде
что позволяет записать алгоритм (7.217) в виде
.
(7.222)
Если обозначить
через (k),
то выражение (7.222)
примет вид
(7.223)
Можно утверждать, что параметр (k) алгоритма адаптации, при котором адаптивный регулятор (7.220) обеспечивает движение объектом (7.210) к цели (7.215) при (k) = 0, определяется выражением
.
(7.224)
Для доказательства воспользуемся функцией Ляпунова:
,
(7.225)
где
– удаленность настраиваемых параметров
от параметров идеального закона
регулирования (7.220).
Рассмотрим разность функции Ляпунова:
(7.226)
Учитывая (7.223) и (7.216), перепишем правую часть уравнения (7.226) в виде
(7.227)
Подставляя выражение (7.227) в (7.226), получим
.(7.228)
Если выполнить неравенства
(7.229)
то получим
.
Для строгого убывания функции Ляпунова необходимо принять
при
.
(7.230)
При таком значении (k) получим
(7.231)
где – положительное число.
Так как
(7.232)
то это означает, что
(7.233)
если T(k) и (k) будут оставаться ограниченными и цель адаптации достигается.
Теперь найдем условия убывания «расстояния» (7.225) с учетом (k) 0 и ограничения (7.211). Используя рассмотренную выше методику, заменяя в (7.227) T(k)[(k) ] не на y(k + 1), как было ранее, а на y(k + 1) (k), получим
(7.234)
Если величина y(k + 1) окажется малой, а (k) будет иметь неблагоприятный знак, то выражение (7.234) может становиться положительным.
В связи с этим предлагается ввести в алгоритм зону нечувствительности, чтобы изменять (k) при условии |y(k + 1)| > . Тогда запишем это условие в виде
(7.235)
где 0 < < 2(1 /2). (7.236)
Данные алгоритмы обеспечивают адаптацию в системах с безинерционной стабилизацией, когда
ℓ(k + 1) = y(k + 1).
Если целью системы адаптации являются условия (7.213) или (7. 214), то адаптивный регулятор описывается аналогичными формулами с заменой y(k + 1) на ℓ(k + 1) в виде
;
(7.237)
,
(7.238)
где 0 < < 2(1 2/2). (7.239)
Составляющие i(k) вектора (k) определяются соотношением (7.223).
Пусть в качестве примера имеем модель процесса в переменных состояния:
с неизвестными
параметрами а,
b,
с
и
.
Необходимо построить регулятор, который обеспечит движение цели
ℓ2(k + 1) = [y(k + 1) – g]2 2.
Перепишем уравнение выхода в форме (7.210)
y(k + 1) + a0y(k) = bmu(k) + (k),
где
.
Полагаем, что известна оценка
|bm| < Cr
и знак числа bm.
Введем элементы
векторов
и i(k)
в виде
Закон регулирования для рассматриваемой системы запишем
.
Алгоритм адаптации параметров регулятора в соответствии с выражением (7.238) запишем
