Глава 7. Адаптивные системы автоматического управления

7.1. Общие условия

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается следующими уравнениями:

;

,

где x(t)  n-мерный вектор переменных состояния объекта; y(t)  r-мерный вектор измеряемых (выходных) переменных; f(t), (t)  s и -мерные векторы внешних возмущений и помех соответственно; (t)  l-мерный вектор неизвестных параметров объекта, u  m-мерный вектор управления.

Пусть в первом приближении можно воспользоваться линейной нестационарной моделью вида

где часть или все элементы матриц A(t), B(t), (t), D(t) являются неопределенными параметрами, из которых можно составить вектор

^T = [⁽¹⁾(t), ²(t), ³(t), ⁴(t)].

Природа неопределенных параметров может быть различной: неточное значение математической модели объекта; неполная информация о программном движении; разброс параметров в пределах технологических допусков; старение элементов объекта.

Объем сведений о параметрах объекта может быть разным:

• неопределенные, ограниченные по модулю параметры ;

• параметры объекта являются случайными функциями времени с известным законом распределения вероятности, но неизвестными параметрами этого закона;

• функции _i(t) заранее известны, однако могут быть измерены в процессе работы объекта.

Обычно параметры объекта изменяются медленнее, чем переменные состояния. Поэтому интервал [t₀, t] функционирования объекта можно разделить на подинтервалы, соответствующие постоянству их параметров _i(kT) = const.

Тогда период Т можно назвать интервалом, на котором объект имеет квазистационарные параметры. Это позволяет говорить о k-вариантах модели объекта.

7.2. Системы с адаптивной оценкой параметров

Системы с адаптивной оценкой параметров предназначены для восстановления неизвестной характеристики объекта, описываемой конечномерным вектором Q вещественных параметров, на основе оценки сигналов системы в реальном масштабе времени. Чтобы получить модель объекта, нет необходимости явно определять параметры. Их можно выбирать на основе косвенных критериев с учетом сигналов объекта управления. Оценка конечномерных параметров модели по информации о состоянии моделируемой системы может быть описана регрессионным вектором сигнала (t). Адаптивная оценка состоит в том, что на основе регрессионного вектора сигнала (t), оценки параметра за прошлое время и сигнала ошибки e(t) корректируется или заново вычисляется оценка параметра. Сигнал ошибки e(t) вычисляется как разность между сигналом, восстановленным с помощью , и опорным значением критерия качества, заданным или вычисляемым по измерениям параметров объекта.

Если совокупность внешних сигналов, действующих на систему, обозначить (t), то полная адаптивная система может быть представлена в виде трех взаимосвязанных подсистем:

 подсистема регрессии, на вход которой поступают сигналы (t) и , а на выходе формируется сигнал (t)

. (7.1)

Подсистема обычно включает как объект управления, так и регулятор с замкнутой обратной связью;

 подсистема ошибки, на вход которой поступают сигналы (t), (t) и , а на выходе образуется сигнал ошибки e(t) для адаптивной коррекции

. (7.2)

 подсистема адаптации, в которой е и  используются для получения оценок параметра

. (7.3)

Объединяя перечисленные подсистемы в одну структурную схему, получим систему, приведенную на рис. 7.1.

Р ис. 7.1. Адаптивная система

Модель адаптивной системы рис. 7.1 имеет вид

, (7.4)

где .

Для динамических адаптивных систем важна устойчивость при наличии небольших возмущений объекта, внешних сигналов, начальных условий, операторов, алгоритмов, т. е. необходима локальная устойчивость уравнения (7.4), которая бы обеспечивала робастность адаптивной системы.

Пусть имеются номинальные значения e_, _ и _. Тогда переменные можно записать в отклонениях

(7.5)

а уравнения (7.4) в виде

(7.6)

где

(7.7)

Если операторы H_e(), H_() и (e, ) дифференцируемы по своим аргументам в шаре В с центром в (e_, _, _)

, (7.8)

то их можно аппроксимировать линейными операторами и внутри шара В и записать

(7.9)

где , ₂, ₃ ограничены по норме значениями в шаре В.

Уравнения (7.9) описывают линеаризацию уравнений (7.6). Если в уравнениях (7.9) линейный оператор сжимающий, при достаточно ограниченных сигналах  в шаре В существует единственное ограниченное решение уравнений (7.9). В терминах пространства состояний это соответствует требованию экспоненциальной устойчивости линейной однородной части уравнений (7.9) и устойчивости по входу.

В терминах пространства состояний теорему об абсолютной устойчивости для системы вида

(7.10)

где A(t), f(t, x) и g(t, x) при каждом фиксированном Х в шаре |x| < r  локально интегрируемые функции переменной t и при всех |x₁| < r, |x₂| < r и t > t₀ выполняются соотношения

(7.11)

можно выразить следующим образом. Если невозмущенная система

экспоненциально устойчива, что для некоторых постоянных  > 0 и K  1 и ее переходной матрицы (t₁, t₂) соответствует условию

при t₂  t₁  t₀,

(7.12)

то существует такое единственное решение исходного уравнения, что

. (7.13)

Из теоремы об абсолютной устойчивости следует, что если невозмущенная линейная (линеаризованная) система экспоненциально устойчива, то можно бороться со многими возмущениями.