6.5. Аналитическое конструирование регуляторов

В 1960 г. появились работы вначале А. М. Летова, а затем Р. Калмана, в которых были получены аналитические решения оптимальной стабилизации линейных объектов относительно интегрального квадратичного критерия качества. Метод основан на использовании результатов динамического программирования и задании конкретной формы функции , аппроксимирующей экстремальные значения критерия качества.

6.5.1. Аналитическое конструирование регуляторов для линейных стационарных объектов управления

Пусть возмущенное движение объекта записывается в форме

, (6.58)

где Х  вектор переменных состояния объекта в отклонениях от желаемых базовых значений; А и В – заданные матрицы чисел размеров n  n, n  m соответственно. Необходимо найти U, которое минимизирует интегральный квадратичный функционал:

, (6.59)

где D и C  весовые матрицы коэффициентов.

В качестве функции  примем квадратичную функцию X^TRX, где R  положительно определенная симметричная матрица. Воспользуемся уравнением оптимальности Беллмана:

. (6.60)

Подставляя производные от  в уравнение Беллмана

,

а затем дополняя его уравнением динамики объекта управления, получим

. (6.61)

Экстремальное значение выражения в фигурных скобках равно

. (6.62)

Откуда имеем оптимальный закон управления

(6.63)

в форме пропорционального многомерного регулятора. Закон оптимального управления включает матрицу, относительно которой было принято свойство положительности. Для нахождения численных значений элементов матрицы R подставим оптимальный закон управления в уравнение Беллмана:

Откуда находим нелинейное матричное уравнение

. (6.64)

Среди корней этого уравнения необходимо сохранить для искомой матрицы лишь те корни, которые удовлетворяют условию положительности матрицы R.

Проиллюстрируем метод на объекте управления вида

с функционалом качества

.

Используя полученные уравнения оптимального закона управления, имеем

;

.

Коэффициенты матрицы R удовлетворяют следующим уравнениям:

;

;

.

Решая приведенную систему уравнений, находим

.

Закон управления принимает окончательный вид

6.5.2. Аналитическое конструирование регуляторов для линейного стационарного объекта на основе критерия обобщенной работы

Для объекта управления вида (6.58) воспользуемся критерием качества, который предложен А. А. Красовским в виде

. (6.65)

Функцию  = min J принимаем в виде

. (6.66)

Используя уравнение оптимальности Беллмана, имеем

(6.67)

Поскольку внесенные изменения в функционал не касаются управления, то закон управления сохраняется в ранее полученном виде:

. (6.68)

При подстановке оптимального закона управления в уравнение Беллмана имеем

. (6.69)

Уравнение является линейным относительно искомой матрицы R, что упрощает нахождение решения.

Для предыдущего примера имеем

,

или в виде систем уравнений

Закон управления объектом в окончательном виде будет

Сравнивая полученные коэффициенты в законах управления примера 6.1, можно отметить их различия.

6.5.3. Аналитическое конструирование регулятора для линейного стационарного объекта и квадратичного функционала с желаемыми значениями переменных состояния

Если ранее мы рассматривали переменные состояния в приращениях, то в этом случае их значения соответствуют фактическим значениям. Сохраним прежнюю форму записи модели движения объекта

. (6.70)

Критерий качества включает желаемые значения переменных состояния Х_ж в виде

. (6.71)

Пусть функция  имеет вид

. (6.72)

Подставляя в уравнение Беллмана исходные уравнения, имеем

(6.73)

Производная по U от выражения в фигурных скобках имеет вид

= 0. (6.74)

Отсюда находим оптимальный закон управления:

. (6.75)

Для нахождения значений элементов матриц R и L подставим U_опт в уравнение Беллмана:

(6.76)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных состояния, находим систему уравнений:

(6.77)

которые позволяют вычислить значения элементов матриц L и R. Из первого уравнения видно, что элементы матрицы L зависят от желаемых значений переменных состояния.