6.10. Дискретный алгоритм линейной фильтрации

Дискретный векторный процесс описывается разностным уравнением

, (6.225)

где V(k1)  n-мерный вектор случайной последовательности со свойствами

(6.226)

где G(k)  неотрицательно определенная матрица.

В те же дискретные моменты времени измеряется вектор Z(k):

(6.227)

где С(k)  известная матрица; N(k) – случайная гауссова последовательность

(6.228)

где Q(k)  неотрицательно определенная матрица.

Случайные последовательности V(k) и N(k) не коррелированы между собой. Начальное состояние Х₀ пусть характеризуется

.

По аналогии с непрерывной фильтрацией уравнение фильтра запишем в виде

.

(6.229)

Неизвестную матрицу D(k) определим из условия

(6.230)

или, введя обозначение , перепишем в виде

. (6.231)

Рассмотрим для упрощенной модели объекта

(6.232)

уравнение для :

(6.233)

Подставляя выражение (6.233) и соответствующую ему транспонированную зависимость в формулу для R(k), получим

(6.234)

(6.235)

где учтено, что:

,

Раскрывая скобки в выражении (6.234), запишем R(k) в виде

(6.236)

Матрица R(k) не зависит от матрицы D(k), поэтому в дальнейшем ее не следует принимать во внимание при оптимизации R(k) за счет D(k). Матрица C(k)R(k)C^T(k) + Q(k) является симметричной и неотрицательно определенной и поэтому может быть записана в виде произведения несингулярных матриц S(k) и S^T(k):

. (6.237)

Подставляя (6.237) в формулу (6.236) и используя матрицы

, (6.238)

получаем выражение для K(k):

k(k) = K(k) + [D(k)S(k) – L(k)][D(k)S(k) – L(k)]^T – L(k)L^T(k). (6.239)

Отсюда следует, что след матрицы K(k) принимает минимальное значение при

D(R)S(R) = L(R).

Тогда имеем

D(R) = L(R)S^1(R).

Подставляя в последнее выражение (6.238) и учитывая формулу (6.237), получим

. (6.240)

При этом матрица K(k) на основании формулы (6.239) принимает вид

. (6.241)

Полученные уравнения (6.229), (6.235), (6.240) и (6.241) определяют структуру дискретного алгоритма фильтрации для упрощенного варианта (6.232) задачи.

Для общей постановки задачи уравнение (6.234) сохраняется для нахождения K(k), а уравнение для K(k) имеет вид

. (6.242)

Все остальные выводы сохраняются.

В качестве примера дискретная система описывается уравнением второго порядка

где .

Измеряется X₁(k) с ошибкой на основе уравнения

где .

Уравнение фильтрации имеет вид

.

Матрица D(k), согласно формулам (6.240), (6.241), имеет вид

.

Коэффициенты r₁₁(k – 1), r₁₂(k – 1) определяются уравнениями (6.241) и (6.234).

6.11. Синтез условно оптимальной по вероятности системы

Рассмотрим динамическую систему, собственные движения которой описываются дифференциальными уравнениями вида

. (6.243)

Функция F_i может быть представлена как

,

где функции f_i относятся к объекту, а функции U_i – к управляющей системе и подлежат синтезу.

Случайность начальных условий или разрывных возмущающих воздействий требует учета плотности распределения вероятности

,

которую на основе уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова для объекта (200) можно записать в виде

. (6.244)

Если объект (6.243) подвержен воздействию гауссовских белых шумов _i(t) с взаимными спектральными плотностями , то модели (6.243) и (6.244) трансформируются к виду

; (6.245)

. (6.246)

Умножив уравнения (6.245) на 1/Р и принимая во внимание тождество

, (6.247)

преобразуем (6.245) и (6.247) к виду

(6.248)

и

(6.249)

Рассмотрим вывод закона управления для объекта без шумов (S_ik = 0):

. (6.250)

Будем считать, что исходная система уравнения (6.243) имеет решения х₁ = х₂ = …= х_n = 0 и эти решения соответствуют невозмущенному состоянию динамической системы.

Считаем, что назначение управления U_i заключается в возможно более быстром перемещении изображающей точки фазового пространства, разрешенного распределением Р₀, в начало координат. При этом функции U_i подчинены ограничениям

.

Имеем задачу, близкую к задаче оптимальности по быстродействию, но в терминах плотности вероятности. Обратим внимание на следующее.

Система тем лучше выполняет свое назначение, чем быстрее преобразует начальное распределение вероятности Р₀ в -распределение, совмещенное с началом координат

.

При этом

;

Для быстрейшего приближения к указанной -функции плотность вероятности, за исключением начала координат, должна с наибольшей скоростью убывать, а в начале координат – наоборот.

Управление, которое обеспечивает такое изменение плотности, вероятности, в фазовом пространстве, будем называть оптимальным по вероятности.

Представим уравнение (6.250) в виде

. (6.251)

В начальный момент времени правая часть этого уравнения равна

.

Наименьшее значение этого выражения будет при

.

Для произвольного момента времени минимальное значение (6.251) будет аналогичным

. (6.252)

Соотношение (6.252) представляет собой уравнение относительно U_i. В областях предельных управлений эти уравнения имеют решение

. (6.253)

Однако вектор градиента логарифмической плотности вероятности в каждой точке не задан и зависит от синтезируемых управлений. Поэтому управления можно считать лишь условно оптимальными по вероятности. Для определения условно оптимальных управлений необходимо найти изменения плотности вероятности при этих управлениях, т. е. решить уравнение (6.251) при законе управления (6.253).

Достаточно найти Р и ln P в областях предельных значений, где и . Уравнение (6.251) при управлениях (6.253) распадется на 2ⁿ уравнения:

. (6.254)

Каждому из линейных уравнений первого порядка в частных производных (6.254) соответствует характеристическая система

, (6.255)

где z = lnP.

При этом система n управлений характеристической системы

(6.256)

совпадает с исходными уравнениями, а (n + 1)e уравнение имеет вид

. (6.257)

Известно, что если функции _i(t, x₁, …, x_n, z) = C_i = const представляют собой (n + 1) линейно независимых первых интегралов характеристической системы (6.256), (6.257), то общее решение уравнения в частных производных (6.254) в неявной форме выражается так:

(6.258)

где Ф – произвольная функция, определяемая из условия при t = t₀.

Значительно более завершенную форму решения можно получать в случае линейных условно оптимальных управлений для линейного объекта и нормального начального распределения.

Для этого класса систем запишем

; (6.259)

, (6.260)

где  постоянные коэффициенты; |С⁰|  определитель матрицы этих коэффициентов; a_vk  коэффициенты объекта изменяющиеся во времени.

Для случая отсутствия шума в соответствии с (6.250) имеем

. (6.261)

При наличии шумов, действующих на объект, имеем

(6.262)

Для данного класса объектов в качестве условно оптимальных управлений примем

, (6.263)

где k_i  коэффициент усиления канала.

При управлении (6.263) в уравнениях (6.261), (6.262) первый член  отрицательный и плотность вероятности тем интенсивнее, чем больше k_i.

В начале координат при центральном текущем распределении

и . (6.264)

При наличии максимума распределения Р или lnP в начале координат вторые производные являются положительными числами и при достаточно больших k_i даже для неустойчивого объекта .

Выражение (6.264) является неявной формой управления, так как lnP необходимо определять через линейный объект, подверженный шумам. Можем записать в этом случае

(6.265)

Для нормального начального распределения решение этого уравнения следует искать также в виде нормального распределения

, (6.266)

где C_ik  неизвестные пока коэффициенты функции времени; |с|  определитель из симметричной матрицы С. Условие нормировки выполняется. Подставив (6.266) в (6.265), имеем

(6.267)

Приравнивая коэффициенты при независимых переменных из (6.267), находим

; (6.268)

. (6.269)

При начальных условиях можно решить уравнение (6.269) и найти требуемые коэффициенты.

Из выражений (6.266) и (6.263) следует

. (6.270)

С учетом симметрии матриц C, S, а также диагональной матрицы

систему уравнений (6.269) можно записать в форме

. (6.271)

На основе полученных результатов можно записать исходную задачу и решение в матричной форме.

Для объекта

; (6.272)

(6.273)

имеем управление

, (6.274)

где матрица С находится из уравнения (6.271).