10. Понятие оптимального проектирования. Последовательность решения задач оптимального проектирования. Методы одномерного поиска.

Оптимальное проектирование - процесс выбора по заданной математической модели проектируемого устройства значений его параметров, обеспечивающих экстремальные (максимум или минимум) значения нескольких технико-экономических характеристик при условии, что другие характеристики удовлетворяют заданной совокупности технических требований.

Задачи с определением одновременно экстремумов для нескольких целевых функций называют векторными или многокритериальными задачами оптимизации. С понятием оптимального проектирования иногда связывают понятие оптимального механизма. Так, совершенствование прецизионных механизмов, воспроизводящих фасонные поверхности таких деталей, как лопатки турбин, пуансонов, матриц, лопастей винтов, распределительных валов двигателей, связано с решением задач выбора оптимальной схемы, параметров и закона движения механизма. Оптимальным механизмом, воспроизводящим фасонную поверхность, считается тот, который максимально приближает условия образования поверхности переменной кривизны к условиям образования поверхности постоянной кривизны, а поиск оптимального варианта механизма рассматривается как задача наилучшего приближения функций, описывающих условия образования этих поверхностей. Приближение функций следует рассматривать как решение задач, представленных в форме нелинейных минимаксных задач на условный минимум.

Применение вариантных методов проектирования предусматривает разработку с той или иной степенью подробности нескольких проектов конструкции и сравнение их технико-экономических показателей. Если к каждому из этих проектов (вариантов) предъявить какое-либо общее требование, приняв его в качестве критерия оптимальности, и оценку этого критерия сформулировать в математической форме в виде функции (или функционала) некоторых переменных параметров, то задачу можно поставить принципиально иным образом. При вариантном проектировании искомые параметры, определяющие качество проектируемого объекта, принимаются для каждого варианта постоянными, а численные значения их назначаются по интуиции, исходя из опыта автора проекта. Поиск различных вещей может быть процессом напряженным, длительным и даже безрезультатным. Но если вы знаете, где искать, то свое отделение почтовой связи найдете без проблем.

Оптимальное проектирование заключается в определении таких величин проектируемых переменных параметров, которые соответствуют экстремальному значению принятого критерия оптимальности. При этом оценка возможных вариантов проектируемого объекта, как правило, не делается, а если и делается, то это осуществляется в процессе вычислений автоматически, без участия проектировщика.

В общем случае задача оптимального проектирования формулируется следующим образом.

При m<n возникает переполнение системы, постановка задачи оказывается, как правило, некорректной. Количество неравенств не ограничивается. Совокупность аналитического выражения критерия оптимальности и ограничений в виде равенств и неравенств представляет собой математическую модель оптимизируемой системы.

Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Методы одномерного поиска:

К прямым методам поиска относят методы, в которых для отыскания экстремума не используются производные первого и высших порядков. В этих методах направления поиска определяются на основе последовательных вычислений значений функции .

2 варианта:

• - минимизировать — задача минимизации;

• - максимизировать — задача максимизации.

Рассмотрим случай минимизации

2 способа:

- аналитический

- численный

В аналитическом задается в виде формулы, в численном задается в виде черного ящика, на входе подается х, на выходе значение целевой функции в этой точке.