3.17. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу.

Нехай кількісна ознака генеральної сукупності розподілена за нормальним законом, причому середньоквадратичне відхилення цього розподілу відомо. Треба знайти довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання генеральної сукупності із заданою надійністю .

Згідно із властивістю нормально розподіленої випадкової величини (див. п. 2.27) маємо:

.

Можна довести, що, якщо величина розподілена нормально, то вибіркове середнє , також розподілено нормально, причому (див. п. 2.9):

, , де – об’єм вибірки.

Тому

, де . Тоді , і можемо написати:

.

Або:

.

Таким чином з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал

(*) покриває невідомий параметр . Точність оцінки:

. (**)

Число визначається рівністю , або

.

За відомим числом за таблицею інтегральної функції Лапласа (див. Додаток, Таблиця 2) знаходять число , якому відповідає значення функції Лапласа. Наприклад, якщо , то , і за таблицею знаходимо: .

Зауваження. З формули (**) випливає, що при зростанні об’єму вибірки число зменшується, а це означає, що точність оцінки збільшується. Коли збільшується надійність , внаслідок властивості зростання функції , зростає , отже зростає , а це означає, що точність оцінки зменшується.

Приклад. Вибірка з великої партії зразків мінералів містить 100 зразків. Середній вміст деякого хімічного елементу в цих зразках з’явився 13%. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середнього вмісту хімічного елементу в зразках всієї партії, якщо відомо, що середньоквадратичне відхилення вмісту елементу .

Маємо , , , отже , . Тому, згідно з формулою (*), довірчий інтервал такий:

, тобто

).

Якщо середньоквадратичне відхилення генеральної сукупності невідомо, то для знаходження довірчого інтервалу користуються формулою:

, (***) де – виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення, а – спеціальний параметр, який знаходиться за таблицею (див. Додаток, Таблиця 3) за відомими і . Наприклад, для , : .

Для оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу використовується наступний довірчий інтервал:

, (****) де – виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення, а – параметр, який знаходиться за таблицею (див. Додаток, Таблиця 4) за відомими і . Наприклад, для , : .