3.13. Метод моментів точкової оцінки параметрів розподілу.

Можна довести, що початкові та центральні емпіричні моменти є обгрунтованими оцінками відповідно початкових та центральних теоретичних моментів того ж порядку. На цьому ґрунтується метод моментів точкової оцінки параметрів розподілу, запропонований К. Пірсоном. Він полягає в тому, що теоретичні моменти дорівнюються відповідним теоретичним моментам.

Нехай, наприклад, теоретичний розподіл визначається одним параметром , тобто щільність розподілу має вигляд . Треба знайти точкову оцінку для параметра . Для цього дорівняємо початковий теоретичний момент 1-го порядку ознаки генеральної сукупності початковому емпіричному моменту 1-го порядку, тобто:

.

Враховуючи, що , , отримаємо:

. (*)

Для неперервної випадкової величини математичне сподівання знаходиться за формулою:

, тобто це математичне сподівання є функцією параметра , тому рівність (*) можна розглядати як рівняння відносно цього параметра:

.

Розв’язавши це рівняння відносно , знайдемо його точкову оцінку , яка є функцією від вибіркового середнього, а отже й варіант вибірки:

.

Приклад. Задано вибірку:

– об’єм вибірки. За цією вибіркою методом моментів знайти точкову оцінку невідомого параметра показникового розподілу, який має щільність

.

Враховуючи те, що математичне сподівання показникового розподілу дорівнює (див. п. 2.23), дорівняємо математичне сподівання до вибіркового середнього (тобто дорівняємо теоретичний початковий момент 1-го порядку емпіричному початковому моменту 1-го порядку):

.

Звідси:

.

Таким чином точкова оцінка параметра :

.

Нехай тепер розподіл визначається двома параметрами , тобто щільність розподілу має вигляд . Тоді необхідно мати два рівняння для знаходження цих параметрів. Дорівняємо математичне сподівання вибірковому середньому, а дисперсію – вибірковій дисперсії (тобто теоретичний початковий момент 1-го порядку емпіричному початковому моменту 1-го порядку, а теоретичний центральний момент 2-го порядку – емпіричному центральному моменту 2-го порядку):

.

Наприклад для параметрів нормально розподіленої випадкової величини матимемо наступні точкові оцінки:

.

3.14. Метод найбільшої правдоподібності.

Нехай – ДВВ, яка внаслідок випробувань прийняла значення (для спрощення вважатимемо, що всі частоти дорівнюють 1). Припустимо, що задано закон розподілу величини , але невідомо параметр , яким цей розподіл визначається. Треба знайти його точкову оцінку.

Позначимо як ймовірність того, що внаслідок випробування величина прийме значення .

Означення. Функцією правдоподібності ДВВ називається функція аргумента :

, де – фіксовані числа.

В якості точкової оцінки параметра приймають таке значення , за яким функція правдоподібності досягає максимуму. Справді, якщо функція досягає максимуму, то у певному розумінні це буде означати й досягання максимумів ймовірностей , а це фактично означає, що при даному значенні параметра теоретичні очікування близькі до емпіричних даних.

Оцінку називають оцінкою найбільшої правдоподібності.

Іноді замість максимуму функції простіше шукати максимум функції – ці дві функції досягають максимуму при одному й тому ж значенні . Функцію називають логарифмічною функцією правдоподібності. Точку максимуму функції можна шукати так:

1) знайти похідну ;

2) дорівняти цю похідну до нуля та знайти критичну точку з рівняння (рівняння правдоподібності):

;

3) знайти похідну 2-го порядку ; якщо при ця похідна від’ємна, то – точка максимуму.

Ця точка максимуму приймається в якості точкової оцінки параметра .

Приклад. Знайти методом найбільшої правдоподібності оцінку параметра розподілу Пуассона:

, де – число проведених випробувань; – число появ події в -му досліді (кожний дослід складається з випробувань).

Складемо функцію правдоподібності (тут ):

.

Знайдемо логарифмічну функцію правдоподібності:

.

Знайдемо її похідну:

.

Складемо рівняння правдоподібності:

, з якого отримуємо критичну точку:

.

Знайдемо похідну 2-го порядку функції :

.

Очевидно, що ця похідна від’ємна, отже – точка максимуму. Таким чином в якості точкової оцінки параметра приймаємо вибіркове середнє:

.

Нехай тепер – НВВ, яка внаслідок випробування прийняла значення . Припустимо, що вигляд щільності розподілу відомо, але невідомо параметр , яким ця функція визначається.

Означення. Функцією правдоподібності НВВ називається функція аргументу :

, де – фіксовані числа.

Оцінку найбільшої правдоподібності шукають так саме, як у випадку ДВВ.

Якщо щільність розподілу визначається двома параметрами , то функція правдоподібності є функцією двох аргументів :

.

Для знаходження розв’язують систему рівнянь:

, а потім користуються достатніми умовами максимуму функції двох змінних.

Приклад. Методом найбільшої правдоподібності знайти точкові оцінки параметрів нормального розподілу:

, якщо внаслідок випробувань величина прийняла значення .

Складемо функцію правдоподібності:

.

Знайдемо логарифмічну функцію правдоподібності:

.

Знайдемо частині похідні за змінними і :

;

.

Складемо систему:

.

У даному випадку вона має вигляд:

,

.

З неї отримаємо:

,

.

Це й є оцінки найбільшої правдоподібності. Як бачимо, вони співпадають зі статистичними аналогами відповідно математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення.