3.10. Початкові та центральні емпіричні моменти.

Означення. Початковим емпіричним моментом порядку вибірки називають величину

, тобто середнє арифметичне -х степенів варіант вибірки.

Означення. Центральним емпіричним моментом порядку називають величину:

, тобто середнє арифметичне -х степенів відхилень варіант вибірки від вибіркового середнього.

Зокрема:

, , .

Для центрального емпіричного моменту 2-го порядку маємо формулу:

.

Для центральних емпіричних моментів 3-го та 4-го порядків нескладно довести справедливість формул:

,

, які аналогічні відповідним формулам для центральних теоретичних моментів (див. п. 2.10).

Емпірічні початкові та центральні моменти є статистичними аналогами відповідно початкових та центральних теоретичних моментів випадкової величини. І вони використовуються в якості точкових оцінок теоретичних моментів.

3.11. Порівняльна таблиця характеристик випадкової величини та їх статистичних аналогів.

Підсумовуючи викладене у пп. 3.1 – 3.10, можна скласти таблицю, до якої занесено основні характеристики випадкових величин та статистичні аналоги, що їм відповідають, або вибіркові характеристики.

Характеристики випадкових величин	Вибіркові характеристики
Закон розподілу випадкової величини	Статистичний розподіл вибірки
Значення випадкової величини	Варіанти вибірки
Ймовірності значень випадкової величини	Відносні частоти варіант вибірки
Функція розподілу випадкової величини	Емпірічна функція розподілу
Щільність розподілу випадкової величини	Гістограма відносних частот вибірки
Математичне сподівання випадкової величини	Вибіркове середнє
Дисперсія випадкової величини	Вибіркова дисперсія
Середньоквадратичне відхилення випадкової величини	Вибіркове середньоквадратичне відхилення
Початкові та центральні теоретичні моменти	Початкові та центральні емпірічні моменти

3.12. Приклади на обчислення числових характеристик вибірки.

Приклад 1. Задано вибірку:

	2	5	7	10
	16	12	8	14

Знайти вибіркове середнє , вибіркову дисперсію , вибіркове середньоквадратичне відхилення , виправлену вибіркову дисперсію , виправлене середньоквадратичне відхилення .

Знайдемо об’єм вибірки: .

Далі знайдемо вибіркове середнє:

.

Вибіркову дисперсію знайдемо за формулою:

. Тоді:

,

,

.

Розглянемо вибірку та вибірку того ж об’єму, причому , де – стала. Тоді очевидно, що

, .

Розглянемо тепер вибірку , причому . Тоді:

, .

З огляду на ці співвідношення іноді для обчислення числових характеристик вибірки зручно перейти до так званих умовних варіант. Нехай, наприклад, – великі числа, безпосередньо з якими складно вести обчислення. Тоді доцільно відняти від кожної варіанти одне й те ж число , яке за порядком співпадає з варіантами, тобто перейти до умовних варіант , та обчислити їх числові характеристики, зокрема, та . А далі повернутися до числових характеристик початкових варіант за формулами:

, .

Приклад 2. Знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію для вибірки:

	2560	2600	2620	2650	2700
	2	3	10	4	1

Перейдемо до умовних варіант :

	-60	-20	0	30	80
	2	3	10	4	1

Знайдемо:

,

.

Тоді:

,

.

Якщо варіанти є десятковими дробами з знаками після коми, то доцільно перейти до умовних варіант . Тоді:

, .

Приклад 3. Задано вибірку:

	0,01	0,05	0,09
	2	3	5

Знайти , .

Перейдемо до умовних варіант :

	1	5	9
	2	3	5

Знайдемо:

,

.

Тоді

,

.

Часто доцільно комбінувати ці два способи.

Приклад 4. Задано вибірку:

	23,5	26,1	28,2	30,4
	2	3	4	1

Знайти , .

Перейдемо до умовних варіант :

	235	261	282	304
	2	3	4	1

А тепер до варіант :

	-33	-7	14	36
	2	3	4	1

Знайдемо:

,

.

Тоді

,

,

,

.