3.8. Вибіркове середнє.

Одним з важливим засобів обробки даних є обчислення їх числових характеристик. Найбільш важливі з них: середнє значення або математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення. Ці характеристики можуть бути обчислені наближено за даними вибірки. За аналогією з математичним сподіванням, дисперсією та середньоквадратичним відхиленням визначають вибіркові характеристики.

Нехай задано вибірку:

– об’єм вибірки.

Означення. Вибірковим середнім називають величину

.

Тобто середнє арифметичне елементів вибірки, причому кожен її елемент враховано стільки разів, яка його частота.

Вибіркове середнє є статистичним аналогом математичного сподівання і використовується в якості статистичної оцінки математичного сподівання. Нескладно довести, що ця оцінка є незсунутою. Дійсно, розглянемо для спрощення випадок, коли , . Будемо розглядати як незалежні однаково розподілені випадкові величини . Оскільки ці величини розподілені однаково, то вони мають однакові числові характеристики, зокрема, одне й те ж математичне сподівання, яке позначимо як . Оскільки математичне сподівання середнього арифметичного однаково розподілених випадкових величин дорівнює математичному сподіванню кожної з величин (див. п. 2.9), то

.

З огляду на те, що кожна з величин має той самий розподіл, що й генеральна сукупність (яку ми також розглядаємо як випадкову величину), робимо висновок, що числові характеристики цих величин і генеральної сукупності однакові. Зокрема, математичне сподівання кожної з величин дорівнює математичному сподіванню генеральної сукупності, тобто:

.

Отже

, тобто є незсунутою оцінкою математичного сподівання.

Вибіркове середнє є також обґрунтованою оцінкою для математичного сподівання . Дійсно, припустивши, що величини мають обмежені дисперсії, ми можемо до цих величин застосувати теорему Чебишова, а саме:

.

Таким чином, якщо по декількох вибірках достатньо великого об’єму з одній й тієї ж генеральної сукупності знайдено вибіркові середні, то вони будуть наближено дорівнювати одна одної. У цьому полягає властивість стійкості вибіркових середніх.

3.9. Вибіркова дисперсія.

Знову розглянемо вибірку об’єма :

.

Означення. Вибірковою дисперсією називається величина:

.

Іншими словами це середнє арифметичне квадратів відхилень варіант від вибіркового середнього з урахуванням відповідних частот.

На практиці величину , як правило, простіше обчислювати за формулою:

, тобто середнє квадратів без квадрату середнього. Дійсно:

.

Крім вибіркової дисперсії користуються також вибірковим середньоквадратичним відхиленням.

Означення. Вибірковим середньоквадратичним відхиленням називається арифметичний квадратний корінь з вибіркової дисперсії:

.

Вибіркова дисперсія є статистичним аналогом дисперсії випадкової величини і використовується в якості точкової оцінки дисперсії. Але можна довести, що ця оцінка є зсунутою, а саме:

.

З огляду на це використовують також так звану виправлену вибіркову дисперсію:

.

При великих дріб близький до 1, тому незначно відрізняється від , хоча трохи більше її. В той же час:

, тобто є незсунутою оцінкою для дисперсії ознаки генеральної сукупності.

Для оцінки середньоквадратичного відхилення ознаки генеральної сукупності використовують , а також виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення:

.

Виправленими вибірковими дисперсією та середньоквадратичним відхиленням користуються, як правило, якщо .