3.7. Точкові оцінки параметрів розподілів, вимоги до них.

Нехай треба дослідити кількісну ознаку генеральної сукупності. Припустимо, що з деяких теоретичних міркувань вдалося встановити закон розподілу випадкової величини . Тоді виникає задача оцінки параметрів, якими визначається цей розподіл. Наприклад, якщо розподілена нормально, то такими параметрами можуть бути та ; якщо розподілена за показниковим законом (див. п. 2.22), то параметром є , тощо.

Для оцінки цих параметрів дослідник має у своєму розпорядженні лише дані вибірки, які отримано в результаті спостережень. Якщо елементи вибірки розглядати як незалежні випадкові величини, то оцінкою невідомого параметру буде функція від цих величин.

Означення. Статистичною оцінкою невідомого параметра випадкової величини генеральної сукупності називається функція від випадкових величин – елементів вибірки, що спостерігаються.

Щоб статистичні оцінки давали задовільні наближення невідомих параметрів, вони повинні задовольняти певним вимогам.

Нехай є статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу. Припустимо, що за вибіркою об’єма знайдено оцінку . При інших вибірках того ж об’єму одержимо деякі інші оцінки , які, взагалі кажучи, відрізняються одна від одної. Тоді оцінку можна розглядати як випадкову величину, а числа як її можливі значення.

Якщо числа більше значення , то оцінка дає наближене значення з надлишком. У цьому випадку й математичне сподівання випадкової величини більше , тобто . Якщо дає оцінку з недостачею, то . Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не дорівнює параметру, який оцінюється, приводить до систематичних (одного знаку) похибок. Тому природно вимагати, щоб . Ця вимога застерігає систематичних похибок.

Означення. Статистичну оцінку параметра називають незсунутою, якщо .

Оцінку називають зсунутою, якщо .

Вимога незсунутості оцінки є недостатньою, адже можливі значення можуть бути значно розсіяні від свого середнього значення, тобто дисперсія може бути великою. Тоді знайдена за даними однієї вибірки оцінка, наприклад , може значно відрізнятися від середнього значення , отже і від параметра . Якщо вимагати, щоб дисперсія величини була малою, то можливість припуститися великої помилки буде виключена. Тому до статистичної оцінки виникає вимога про її ефективність.

Означення. Оцінка називається ефективною, якщо при заданому об’єму вибірки має найменшу можливу дисперсію.

При розгляданні вибірок великого об’єму до статистичних оцінок пред’являють вимогу їх обґрунтованості.

Означення. Оцінка невідомого параметра , яка отримана за вибіркою об’єма , називається обґрунтованою, якщо

.

Тобто при збільшенні об’єму вибірки подія, яка полягає в тому, що оцінка буде мало відрізнятися від параметра , стає практично достовірною.

Якщо дисперсія незсунутої оцінки при прямує до нуля, то така оцінка буде й обґрунтованою.