Критичні точки критерія Пірсона

Число Рівень значущості

ступенів

вільності

0,01 0,025 0,05 0,1

---------------------------------------------------------------------------------

1 6,635 5,024 3,841 2,706

2 9,210 7,378 5,991 4,605

3 11,345 9,348 7,815 6,251

4 13,277 11,143 9,488 7,779

5 15,086 12,832 11,070 9,236

6 16,812 14,449 12,592 10,645

7 18,475 16,013 14,067 12,017

8 20,090 17,535 15,507 13,362

9 21,666 19,023 16,919 14,684

10 23,209 20,483 18,307 15,987

11 24,725 21,920 19,675 17,275

12 26,217 23,337 21,026 18,549

13 27,688 24,736 22,362 19,812

14 29,141 26,119 23,685 21,064

15 30,578 27,488 24,996 22,307

16 32,000 28,845 26,296 23,542

17 33,409 30,191 27,587 24,769

18 34,805 31,526 28,869 25,989

19 36,191 32,852 30,144 27,204

20 37,566 34,170 31,410 28,412

21 38,932 35,479 32,676 29,615

22 40,289 36,781 33,924 30,813

23 41,638 38,076 35,172 32,007

24 42,980 39,364 36,415 33,196

25 44,314 40,646 37,652 34,382

26 45,642 41,923 38,885 35,563

27 46,963 43,194 40,113 36,741

28 48,278 44,461 41,337 37,916

29 49,588 45,722 42,557 39,087

30 50,892 46,979 43,773 40.256

Рекомендована література. Базова

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статисти-

ка. М.,1977.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М., 1988.

3. Сеньо П. С. Теорія ймовірностей та математична статистика. К., 2004.

4. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. К., 2002.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1975.

6. Агапов Г. Е. Задачник по теории вероятностей. М., 1994.

Додаткова

1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 1954.

2. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. К., 1979.

3. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т1, Т.2. М.,1967.

4. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., 1983.

Зміст.

Розділ I. Випадкові події …………………………………………….... 3

1.1 Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка………. 3

1.2. Випадкові події та дії над ними…………………………………… 5

1.3. Класичне означення ймовірності події…………………………….11

1.4. Деякі поняття комбінаторики………………………………………12

1.5. Задачі на безпосередній підрахунок ймовірностей……………….15

1.6. Статистичне означення ймовірності……………………………….18

1.7. Геометрична ймовірність…………………………………………... 20

1.8. Умовна ймовірність. Ймовірність добутку подій………………… 28

1.9. Ймовірність суми подій……………………………………………. 31

1.10. Задачі на обчислення ймовірності суми і добутку подій……….. 33

1.11. Формула повної ймовірності…………………………………….... 35

1.12. Формули Байєса……………………………………………………. 37

1.13. Повторення незалежних випробувань. Формула Бернуллі……… 39

1.14. Повторення незалежних випробувань. Формула Пуассона……… 42

1.15. Повторення незалежних випробувань. Локальна теорема Муавра –

Лапласа……………………………………………………………….. 43

1.16. Повторення незалежних випробувань. Інтегральна теорема Муавра –

Лапласа……………………………………………………………….. 46

1.17. Послідовність незалежних випробувань. Найбільш ймовірне число

появ події……………………………………………………………… 49

Контрольні питання до розділу I……………………………………. 52

Вправи для самостійного розв’язування…………………………….. 53

Розділ II. Випадкові величини………………………………………….. 56

2.1. Випадкові величини, їх види………………………………………… 56

2.2. Дискретні випадкові величини. Закон розподілу………………….. 57

2.3. Задачі на побудову закону розподілу дискретної випадкової вели-

чини…………………………………………………………………… 60

2.4. Математичне сподівання дискретної випадкової величини………. 61

2.5. Основні властивості математичного сподівання…………………… 64

2.6. Ймовірнісний зміст математичного сподівання……………………. 67

2.7. Дисперсія дискретної випадкової величини………………………... 69

2.8. Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини 72

2.9. Числові характеристики середнього арифметичного однаково роз-

поділених випадкових величин……………………………………… 73

2.10. Початкові та центральні теоретичні моменти……………………… 74

2.11. Біноміальний розподіл……………………………………………….. 76

2.12. Розподіл Пуассона……………………………………………………. 78

2.13. Геометричний розподіл………………………………………………. 80

2.14. Неперервні випадкові величини. Функція розподілу………………. 82

2.15. Властивості функції розподілу………………………………………. 84

2.16. Функція розподілу дискретної випадкової величини……………… 87

2.17. Щільність розподілу неперервної випадкової величини…………... 89

2.18. Властивості щільності розподілу……………………………………. 92

2.19. Ймовірнісний зміст щільності розподілу…………………………… 94

2.20. Числові характеристики неперервних випадкових величин………. 95

2.21. Рівномірний розподіл………………………………………………… 97

2.22. Показниковий розподіл………………………………………………100

2.23. Показниковий закон надійності…………………………………….. 103

2.24. Нормальний розподіл………………………………………………... 105

2.25. Нормальна крива та вплив параметрів нормального розподілу на

її форму……………………………………………………………… . 108

2.26. Ймовірність потрапляння нормальної випадкової величини в зада-

ний інтервал………………………………………………………….. 111

2.27. Ймовірність заданого відхилення. Правило «трьох сигм»………... 112

2.28. Задачі на нормальний розподіл……………………………………… 113

2.29. Відхилення заданого розподілу від нормального. Асиметрія та

ексцес…………………………………………………………………. 116

2.30. Поняття про центральну граничну теорему. Значення нормально

розподілених випадкових величин…………………………………. . 118

2.31. Деякі інші важливі розподіли………………………………………… 119

2.32. Двовимірні випадкові величини. Закон розподілу дискретної двови-

мірної випадкової величини…………………………………………... 124

2.33. Функція розподілу двовимірної випадкової величини……………… 126

2.34. Щільність розподілу неперервної двовимірної випадкової величини128

2.35. Залежні та незалежні випадкові величини…………………………… 132

2.36. Числові характеристики системи двох випадкових величин………. 133

2.37. Корельованість та залежність випадкових величин………………… 137

2.38. Двовимірний закон нормального розподілу………………………… 138

2.39. Нерівність Чебишова………………………………………………….. 140

2.40. Теорема Чебишова (закон великих чисел)…………………………… 142

2.41. Теорема Бернуллі………………………………………………………. 145

Контрольні питання до розділу II……………………………………. 148

Вправи для самостійного розв’язування………………………………150

Розділ III. Елементи математичної статистики………………………... 154

3.1. Предмет і задачі математичної статистики. Короткий історичний

нарис…………………………………………………………………… . 154

3.2. Вибірковий метод. Генеральна та вибіркова сукупності…………….155

3.3 Способи відбору………………………………………………………...156

3.4. Статистичний розподіл вибірки………………………………………. 157

3.5. Емпірічна функція розподілу………………………………………….. 158

3.6. Полігон і гістограма……………………………………………………. 161

3.7. Точкові оцінки параметрів розподілів, вимоги до них……………….166

3.8. Вибіркове середнє……………………………………………………… 168

3.9. Вибіркова дисперсія……………………………………………………. 169

3.10. Початкові та центральні емпіричні моменти…………………………. 171

3.11. Порівняльна таблиця характеристик випадкової величини та їх ста-

тистичних аналогів……………………………………………………… 172

3.12. Приклади на обчислення числових характеристик вибірки…………..172

3.13. Метод моментів точкової оцінки параметрів розподілу……………… 175

3.14. Метод найбільшої правдоподібності…………………………………... 177

3.15. Інші вибіркові характеристики………………………………………….180

3.16. Інтервальні оцінки параметрів розподілів. Довірчий інтервал і довірча

ймовірність………………………………………………………………..181

3.17. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального

розподілу………………………………………………………………….183

3.18. Статистична перевірка статистичних гіпотез…………………………..185

3.19. Критерій Пірсона перевірки статистичної гіпотези про нормальний

розподіл випадкової величини…………………………………………..186

3.20. Приклад перевірки статистичної гіпотези про нормальний розподіл

випадкової величини за допомогою критерію Пірсона………………. 188

3.21. Елементи теорії кореляції. Функціональна, статистична та кореляційна

залежності……………………………………………………………….. 191

3.22. Побудова прямої лінії регресії методом найменших квадратів……… 192

3.23. Вибірковий коефіцієнт кореляції………………………………………. 193

3.24. Приклад побудови прямих ліній регресії……………………………… 194

Контрольні питання до розділу III……………………………………...197

Вправи для самостійного розв’язування………………………………..198

Додаток………………………………………………………………………….201

Рекомендована література……………………………………………………..206

211