3.21. Елементи теорії кореляції. Функціональна, статистична та кореляційна залежності.

На практиці ми зустрічаємось з різними типами зв’язку між випадковими величинами. Одним з таких типів є функціональна залежність. Така залежність виникає тоді, коли зв’язок між величинами настільки тісний, що, знаючи можливі значення однієї з величин, можна точна вказати можливі значення іншої. Функціональну залежність величини від величини можна задати формулою: . Нехай, наприклад, , можливі значення величини : 1, 2, 3. Тоді можливі значення величини : 1, 4, 9.

До величин, що пов’язані функціональними залежностями, відносяться значна кількість тих, що зустрічаються у природознавстві. Наприклад, тиск , температура та об’єм газу пов’язані функціональною залежністю , де – універсальна газова стала.

Разом з цим точна функціональна залежність між величинами реалізується досить рідко, оскільки величини підлягають впливу багатьох випадкових факторів. Серед цих факторів можуть бути спільні для обох величин. В таких випадках виникають статистичні залежності. Наприклад, якщо величина залежить від випадкових факторів , а величина – від випадкових факторів , то між та є статистична залежність – серед випадкових факторів, що діють на величини та , є спільні – .

Означення. Статистичною залежністю між величинами називають таку залежність, коли зміна однієї з величин викликає зміну розподілу іншої.

Зокрема, якщо при зміні однієї з величин змінюється середнє значення іншої, то така залежність називається кореляційною.

Статистичні та кореляційні залежності знаходять численні застосування в усіх сферах природознавства, зокрема і в геології. Наприклад, існує кореляційна залежність між органічними речовинами, що є у ґрунті, з неорганічними мінеральними компонентами порід. Такого типу залежності лежать в основі багатьох методів підрахунку природничих ресурсів, на них спираються прогностичні побудови, розрахункові схеми.

Кореляційні зв’язки є частинним випадком статистичних. Термін «кореляція» походить від англійського correlation – співвідношення, відповідність. При таких залежностях певному значенню однієї з величин може відповідати одразу декілька значень іншої.

Для дослідження кореляційного зв’язку між величинами часто використовується математична модель, яка називається рівнянням регресії. При цьому дослідження складається з двох етапів:

1) виявлення на підставі великої кількості спостережень того, як змінюється в середньому величина в залежності від величини , тобто знаходження рівняння зв’язку між та ;

2) виявлення ступені взаємозв’язку явищ, що досліджуються.

3.22. Побудова прямої лінії регресії методом найменших квадратів.

Припустимо, що експериментально встановлено, що залежність величини від величини близька до лінійної:

, (*) але параметри і ми не знаємо.

Нехай – можливі значення величини , а – можливі значення величини (для спрощення припускаємо, що кожне значення зустрічається по одному разу).

Якщо рівняння (*) виконується хоча б наближено, то значення не повинні сильно відрізнятися відповідно від значень …, . Тому є сенс ввести міру відмінності цих значень та обрати параметри і таким чином, щоб ця міра відмінності була по можливості найменшою. Такою мірою, зокрема, може бути функція двох змінних:

.

Підберемо і з умови мінімуму функції . Для цього дорівняємо до нуля частинні похідні цієї функції:

, .

Перепишемо ці рівняння так:

(**)

Тобто отримали систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно і . Систему (**) називають системою методу найменших квадратів. Розв’язуючи цю систему, знаходимо:

,

.