3.18. Статистична перевірка статистичних гіпотез.
У
розглянутих в попередніх параграфах
задачах ми оцінювали параметри розподілів,
вважаючи при цьому, що вигляд самого
розподілу відомий. Наприклад, при
отриманні інтервальної оцінки у
попередньому параграфі ми припускали,
що величина розподілена за нормальним
законом. Разом з цим в багатьох задачах
закон розподілу випадкової величини є
невідомим. У зв’язку з
цим доводиться будувати різні припущення
(гіпотези) щодо вигляду цього закону.
Припустимо, що ми маємо деякі підстави
вважати, що функція розподілу дорівнює
,
де
– деяка відома функція. Таке припущення
називається статистичною
гіпотезою. Щоб перевірити
достовірність цієї гіпотези, треба
порівняти як узгоджуються експериментальні
дані (тобто елементи вибірки) з гіпотетичною
функцією розподілу
.
Ми знаємо, що статистичним аналогом
функції розподілу є емпірична функція
розподілу
(див. п. 3.5). Тому шукану відповідність
можна оцінити як близькість емпіричної
функції розподілу
та гіпотетичної функції розподілу
.
У зв’язку з цим вводиться
деяка величина
,
яка й характеризує цю близькість.
Величину
можна обирати різними способами, у
відповідності з якими отримуються різні
критерії для перевірки гіпотези, що нас
цікавить. Такі критерії називаються
критеріями узгодженості.
Наприклад, можна покласти:
.
Цей критерій називається критерієм Колмогорова. Або можна покласти:
,
де
,
.
Цей критерій називається критерієм Мізеса.
Чим менше величина , тим ближче до , тим краще узгоджується статистична гіпотеза з даними вибірки.
На
практиці критеріями узгодженості
користуються так. Задається деяке число
настільки мале, щоб подію, яка відбувається
із ймовірністю
,
можна вважати практично неможливою. За
цим
вибирається число
з наступної умови:
.
Число
називається рівнем
значущості. Число
називається критичною
точкою. За даними вибірки
будуємо функцію
і знаходимо величину
відповідно прийнятому критерію
узгодженості. Порівнюємо величину
з критичною точкою
.
Якщо вийде, що
,
то це означає, що припущення про
справедливість гіпотези привело до
висновку, що відбулася практично
неможлива подія, і таким чином гіпотеза
простується експериментом. Тоді її слід
відкинути. Якщо
,
то гіпотеза не суперечить даним вибірки,
підстав для її відкидання нема, і вона
може бути прийнята.
Слід відмітити, що спростування гіпотези при не означає її логічного спростування, а також підтвердження гіпотези у випадку не означає логічного доведення справедливості гіпотези. Дійсно, подія може відбутися і у випадку справедливості гіпотези, але оскільки мале, то на практиці цією можливістю можна нехтувати. Також і подія може відбутися й тоді, коли гіпотеза невірна, тому її необхідно перевірити за допомогою інших критеріїв.
Очевидно, що величина є випадковою (вона залежить від даних вибірки), та її розподіл залежить від об’єму вибірки . Тому знаходження цього розподілу при фіксованих значеннях достатньо важке та недоцільне. Замість цього обчислюють граничний (при ) розподіл величини та використовують його в якості наближеного значення для розподілу величини при фіксованих, але досить великих значеннях .