Розділ III. Елементи математичної статистики.
3.1. Предмет і задачі математичної статистики. Короткий історичний нарис.
Математична статистика (МС) це наука, яка вивчає способи відбору та обробки статистичних даних для одержання наукових та практичних висновків. Ці дані носять не абсолютний, а ймовірнісний характер, тому їх аналіз вимагає широкого використання методів теорії ймовірностей. Таким чином МС може розглядатися як застосування методів теорії ймовірностей до задач практики.
Як і теорія ймовірностей, МС це наука суттєво математична, і використовує різноманітний математичний апарат.
До основних задач МС відносяться наступні.
1. Вказання способів відбору та групування статистичних відомостей.
2. Розробка методів аналізу статистичних даних в залежності від мети дослідження. Сюди відносяться:
а) оцінка невідомої ймовірності події; оцінка параметрів розподілу, вигляд якого відомо; оцінка залежності випадкової величини від однієї або декількох інших випадкових величин;
б) перевірка статистичних гіпотез про вигляд невідомого розподілу.
Сучасна МС розробляє способи визначення числа необхідних випробувань до початку дослідження (планування експерименту), в процесі дослідження (послідовний аналіз), та вирішує багато інших задач. Тому сучасну МС визначають як науку про прийняття рішень в умовах невизначеності.
МС виникла у XVII ст. і розвивалася паралельно з теорією ймовірностей. Подальший розвиток МС зобов’язаний таким вченим як П. Л. Чебишов, А. А. Марков, О. М. Ляпунов, А. Кельтон, К. Пірсон, Р. Стьюдент, Р. Фішер та інші.
Методи МС широко використовуються і в задачах геології. Вперше це відбулося в працях Ч. Лайєля (1833 р.), в яких були використані найпростіші способи статистичної обробки палеонтологічних даних. У подальшому методи МС використовуються також в літології, розвідці корисних копалин. Систематичне використання в геології математичних методів, зокрема, методів МС, починається у 40-і роки ХХ ст. з робіт А. Вістеліуса. Особливо інтенсивний процес проникнення математичних методів в геологію розпочався з появою та розвитком електронно-обчислювальної техніки, комп’ютерів.
В сучасних геологічних дослідженнях використовуються всі напрями математики – математичний аналіз, диференціальні рівняння, лінійна алгебра, теорія множин, теорія груп, геометрія, теорія ймовірностей та математична статистика та багато інших. Зокрема, апарат теорії ймовірностей та МС використовується при вивченні розподілів геологічних ознак та їх застосуванні при розв’язанні геологічних задач, перевірці статистичних гіпотез про однорідність сукупностей, застосуванні методів кореляції та регресії та ін.
3.2. Вибірковий метод. Генеральна та вибіркова сукупності.
Основним методом МС є так званий вибірковий метод. Полягає він в наступному. Нехай потрібно визначити сукупність об’єктів відносно деякої якісної або кількісної ознаки, яка характеризує ці об’єкти. Кожен об’єкт, що спостерігається, має декілька ознак. Розглядаючи лише одну ознаку кожного об’єкта, ми припускаємо, що інші ознаки рівноправні, або що сукупність об’єктів однорідна. Наприклад, якщо досліджують партію деталей, то якісною ознакою може бути стандартність або нестандартність кожної деталі, а кількісною ознакою – розмір деталі. Кількісні ознаки можуть бути неперервними та дискретними.
Іноді проводять повне обстеження всієї сукупності, тобто перевіряється кожен з об’єктів сукупності відносно ознаки, яка цікавить. Але практично таке обстеження недоцільне, або, навіть, практично неможливе. Наприклад, коли кількість об’єктів сукупності занадто велика, або перевірка всіх об’єктів пов’язана з великими матеріальними витратами. Тому частіше обстежують тільки певну частину об’єктів, яку випадково відбирають зі всієї сукупності.
Генеральною сукупністю називають всю сукупність об’єктів, яка підлягає обстеженню.
Вибірковою сукупністю (вибіркою) називають сукупність об’єктів, які випадковим чином відбираються для обстеження з генеральної сукупності.
Об’ємом сукупності (генеральної або випадкової) називається число об’єктів цієї сукупності.
Наприклад, якщо з 5000 виробів
для обстеження взято 50, то об’єм
генеральної сукупності
,
а об’єм вибірки
.
Складати вибірку можна двома способами: після того, як об’єкт відібрано з сукупності та обстежено, його може бути повернено до генеральної сукупності, а може бути не повернено. Відповідно цьому вибірки розділяються на повторні та без повторні.
Повторною називають вибірку, при якій відібраний об’єкт повертається до генеральної сукупності перед відбором наступного об’єкту.
Безповторною називають вибірку, при якій відібраний об’єкт до генеральної сукупності не повертається.
Найчастіше використовують саме без повторні вибірки.
Вибірку можна ефективно використовувати для вивчення відповідної ознаки генеральної сукупності лише тоді, коли дані вибірки вірно відображають цю ознаку. Саме тоді вибірковий метод є виправданим. Коротко ця умова формулюється так6 вибірка має бути репрезентативною (або представницькою).
Згідно закону великих чисел (див. п. 2.40) можна стверджувати, що вибірка буде репрезентативною, якщо виконуються наступні умови:
вибірка здійснюється випадково: кожен об’єкт вибірки відібрано ви-
падково з генеральної сукупності, та всі об’єкти генеральної сукупності мають однакову ймовірність потрапляння до вибірки;
об’єм вібірки, хоча значно менший, ніж об’єм генеральної сукупності,
все ж таки достатньо великий для забезпечення дії закону великих чисел.