2.6. Ймовірнісний зміст математичного сподівання.

Нехай проведено випробувань, у кожному з яких випадкова величина приймає яке-небудь значення. Припустимо, що разів величина прийняла значення ; разів прийняла значення ; … ; разів прийняла значення ; . Знайдемо середнє арифметичне всіх значень, що прийнято величиною :

.

Частка є відносною частотою значення . З урахуванням цього величина запишеться так:

.

Пригадаємо, що при збільшенні відносна частота події, як правило, наближається до ймовірності цієї події. Тому наближено можемо покласти:

, де . Тоді

.

Таким чином, ймовірнісний зміст математичного сподівання такий: математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному значень випадкової величини, що нею приймаються.

Приклад. Два гравці і грають за наступними правилами. Вони кидають гральну кістку. Якщо випадає «6», то гравець платить гравцю 6 у. о. Але якщо «6» не випадає, то гравець платить гравцю 1 у. о. Для якого з гравців ця гра більш вигідна?

Побудуємо закони розподілів випадкових величин (виграш гравця ) та (виграш гравця ). Гравець може за один кон або придбати 1 у. о., або втратити 6 у. о. (тобто «придбати» -6 у. о.). Ймовірність того, що він придбає 1 у. о., дорівнює ймовірності випадіння будь якого числа очок, крім «6», тобто . А ймовірність втрати 6 у. о. дорівнює ймовірності випадіння «6», тобто . Отже закон розподілу виграшу для гравця такий:

	-6	1

Аналогічно для гравця матимемо:

	-1	6

Тоді

, .

Таким чином ми бачимо, що така гра вигідна для гравця . Адже математичне сподівання його виграшу додатне, а для гравця – від’ємне. Це означає, що якщо ця гра продовжуватиметься досить довго, то гравець буде, скоріше всього, у виграші, а гравець – у програші.

2.7. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Однієї такої характеристики, як математичне сподівання, буває недостатньо для інформативного опису випадкової величини. Розглянемо наступний приклад. Нехай задано дві ДВВ та своїми законами розподілів:

	-0,01	0,01
	0,5	0,5

	-100	100
	0,5	0,5

Знайдемо:

, .

Таким чином ми бачимо, що ці величини мають однакові математичні сподівання. Але розсіяння значень цих величин навколо цього математичного сподівання суттєво розрізняються. Якщо величина має значення, досить близькі до математичного сподівання, то значення величини розташовані від нього значно дальше. Тому для більш інформативного опису випадкової величини треба вводити характеристику, яка б враховувала це розсіяння. Наприклад, в артилерії необхідно знати, наскільки купно влучать снаряди поблизу цілі. З цією метою вводиться така числова характеристика випадкової величини, як дисперсія.

Означення. Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

.

Приклад. Знайти дисперсію ДВВ , яку задано законом розподілу:

	-5	2	3	4
	0,4	0,3	0,1	0,2

Маємо:

.

Побудуємо закон розподілу величини :

	22,09	5,29	10,89	18,49
	0,4	0,3	0,1	0,2

(для отримання значень цієї величини від кожного значення величини відняли математичне сподівання і результат підвели до квадрату; ймовірності залишаються тими ж самими). Звідси маємо:

.

На практиці дисперсію часто (але не завжди) зручніше знаходити за наступною формулою:

. (*) Тобто дисперсія дорівнює математичному сподіванню квадрату випадкової величини без квадрату її математичного сподівання. Дійсно, розглянемо:

.

Тут ми скористалися наступними властивостями математичного сподівання: , , .

Приклад. Знайти дисперсію ДВВ, яку задано законом розподілу:

	-1	0	3	5	6
	0,1	0,1	0,3	0,2	0,3

Скористаємось формулою (*). Маємо:

;

;

.

Розглянемо основні властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія завжди є числом невід’ємним:

.

Дійсно, величина невід’ємна, отже математичне сподівання цієї величини також невід’ємне.

Властивість 2. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.

Дійсно, оскільки , то

.

Стала величина зберігає одне й те ж значення, тому розсіяння не має.

Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підводячи при цьому його до квадрату:

.

Дійсно, розглянемо:

.

Властивість 4. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

.

Доведення. За формулою (*) маємо:

.

Наслідок 1. Дисперсія суми декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

.

Наслідок 2. Додавання до випадкової величини сталої не змінює дисперсії випадкової величини:

.

Дійсно:

.

Властивість 5. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

.

Дійсно:

.

Звернемо увагу на відмінність цієї властивості від відповідної властивості математичного сподівання: .