2.5. Основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання задовольняє подвійну нерівність:

.

Тобто математичне сподівання ДВВ не може бути менше найменшого її значення і не може бути більше найбільшого її значення.

Доведення. Нехай ДВВ має закон розподілу

Припускаємо, що , . Тоді:

,

.

Властивість 2. Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій самій сталій:

.

Доведення. Сталу можна розглядати як ДВВ, яка може приймати тільки одне значення з ймовірністю . А тоді:

.

Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

.

Доведення. Нехай ДВВ має закон розподілу:

Тоді ДВВ має такий закон розподілу:

Знайдемо:

.

Означення. Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які значення прийняла інша величина.

Приклад. Два стрілки стріляють декілька разів по одній цілі. Якщо ДВВ – число влучень 1-го стрілка, а ДВВ – число влучень 2-го стрілка, то величини та – незалежні.

Означення. Якщо випадкові величини та незалежні, то їх добутком називається випадкова величина , можливі значення якої дорівнюють добуткам кожного можливого значення величини на кожне можливе значення величини ; при цьому ймовірності можливих значень величини дорівнюють добуткам ймовірностей відповідних значень та .

Властивість 4. Математичне сподівання добутку двох незалежних ДВВ дорівнює добутку їх математичних сподівань:

.

Доведення. Для спрощення припустимо, що кожна з величини та приймає тільки два можливі значення з певними ймовірностями, тобто закони їх розподілів мають вигляд:

Побудуємо закон розподілу ДВВ :

Знайдемо:

.

Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

Тобто, якщо – взаємно незалежні випадкові величини, то

.

Означення. Сумою двох випадкових величини та називається випадкова величина , можливі значення якої дорівнюють сумі кожного можливого значення величини та кожного можливого значення величини ; якщо величини та незалежні, то ймовірності можливих значень величини дорівнюють добуткам відповідних значень величин та .

Властивість 5. Математичне сподівання суми двох випадкових величини дорівнює сумі їх математичних сподівань:

.

Доведення. Нехай величини та задано законами їх розподілів:

(знову для спрощення обмежуємось випадком двох можливих значень кожної з величин). Запишемо закон розподілу величини :

Тут . Розглянемо:

. (*)

Доведемо, що . Подія, яка полягає в тому, що величина прийме значення , еквівалентна події, яка полягає в тому, що величина прийме значення або . За теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо:

.

Звідси й випливає, що . Аналогічно доводимо, що , , . Підставляючи ці рівності в співвідношення (*), дістаємо:

.

Наслідок 1. Математичне сподівання суми декількох випадкових величини дорівнює сумі їх математичних сподівань:

.

Наслідок 2. Якщо – сталі величини, то:

.

Властивість 6. Математичне сподівання різниці двох випадкових величини дорівнює різниці їх математичних сподівань:

.

Доведення. Дійсно, на підставі Наслідку 2 з Властивості 5 маємо:

.

Приклад. Знайти математичне сподівання суми очок, які можуть випасти при киданні двох гральних кісток.

Нехай ДВВ – число очок, що випадає на першій кістці, ДВВ – число очок, що випадає на другій кістці. Ці величини мають один й той же закон розподілу (див. п. 2.3, Задача 1). Знайдемо:

.

Аналогічно . Тоді

.