2.3. Задачі на побудову закону розподілу дискретної випадкової величини.

Задача 1. Написати закон розподілу ДВВ – числа очок, яке випадає на верхній грані гральної кістки при одному її киданні.

Дана ДВВ може приймати значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, і кожне з цих значень, очевидно, приймається з ймовірністю . Отже ряд розподілу має вигляд:

	1	2	3	4	5	6

Задача 2. Два стрілки стріляють по одній цілі по одному разу. Перший стрілок влучає в ціль з ймовірністю 0,9, а другий – з ймовірністю 0,7. Написати закон розподілу ДВВ – числа влучень в ціль.

Очевидно, що кількість влучень в ціль може бути або 0, або 1, або 2. Нехай подія – влучив перший стрілок, подія – влучив другий стрілок. Тоді (див. п. 1.10, Задача 5):

,

,

.

Отже закон розподілу:

	0	1	2
	0,03	0,34	0,63

Відмітимо, що внаслідок умови нормування останню ймовірність можна було б знайти як різницю між одиницею та сумою попередніх ймовірностей. Але краще її знаходити безпосередньо, а умову нормування використовувати для перевірки: 0,03+0,34+0,63=1.

Задача 3. В партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відбирається 3 деталі. Побудувати закон розподілу ДВВ – числа стандартних деталей серед 3-х, що відібрано.

Очевидно, що серед 3-х відібраних може бути або 1, або 2, або 3 стандартні деталі (варіант, коли нема жодної стандартної, неможливий, оскільки тоді вийде, що всі 3 відібрані деталі нестандартні, а нестандартних всього 2). Знайдемо (див. п. 1.5, Задача про вибірку):

.

Маємо:

,

,

.

Отже закон розподілу:

	1	2	3

2.4. Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

Не завжди є можливість записати повний закон розподілу випадкової величини – тобто з наведенням всіх можливих значень цієї величини та ймовірностей всіх цих значень. Але для отримання загальної інформації про випадкову величину іноді потреби в такому законі не виникає. Буває достатньо обмежитись деякими числами, які характеризують випадкову величину, так кажучи, сумарно. Такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини. До них, зокрема, відноситься математичне сподівання.

Означення. Математичних сподіванням ДВВ називається сума добутків значень цієї величини на їх ймовірності.

Нехай ДВВ задано законом розподілу:

Тоді математичним сподіванням ДВВ називається число:

.

Нехай ДВВ приймає зліченну множину значень, тобто має закон розподілу:

Тоді математичним сподіванням ДВВ називається сума числового ряду:

, за умови, що цей ряд збігається.

Відмітимо, що математичне сподівання ДВВ є величиною невипадковою.

Приклади.

1. Знайти математичне сподівання ДВВ, яку задано законом розподілу:

	-4	6	10
	0,2	0,3	0,5

Математичне сподівання дорівнює сумі добутків значень ДВВ на їх ймовірності. Маємо:

.

2. Знайти математичне сподівання ДВВ, яку задано законом розподілу:

Дана випадкова величина може приймати зліченну множину значень. Перевіримо спочатку виконання умови нормування. Знайдемо:

(сума нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником також ). Отже умову нормування виконано. Знайдемо тепер математичне сподівання:

(на підставі того, що ряд збігається на всій числовій прямій, та його сума дорівнює ).

3. Задано перелік можливих значень ДВВ : , , . Відомо, що , а . Знайти ймовірності, які відповідають цим можливим значенням.

З умов задачі та з умови нормування маємо:

,

,

.

Тобто дістали систему 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих . Після підстановки даних задачі ця система набуває вигляду:

,

,

.

Розв’язуючи цю систему, отримуємо: , , .