2.39. Нерівність Чебишова.

Ми знаємо, що завчасно передбачити, яке значення прийме випадкова величина в одному випробуванні, неможливо. Разом з цим, якщо ми маємо суму досить великого числа випадкових величин, то її поведінку при певних умовах можна передбачити. Більш того, в певному сенсі така сума втрачає випадковий характер і стає закономірною.

В теорії ймовірностей є низка теорем, у яких встановлюються умови, за яких сукупна дія дуже великого числа випадкових величин стає не випадковою, а закономірною. Ці теореми носять спільну назву закону великих чисел. До найбільш відомих з них відносяться теореми Чебишова та Бернуллі. Для доведення теореми Чебишова доведемо спочатку нерівність Чебишова¹.

Нерівність Чебишова. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання за абсолютною величиною буде меншим за додатне число , не менша, ніж :

.

Доведення. Обмежимось випадком неперервних випадкових величин. Очевидно, що

, (*) адже події та взаємно протилежні. Позначимо і знайдемо:

.

Для значень , що належать проміжку, за яким береться перший з останніх інтегралів, виконано , а для значень , що належать проміжку, за яким береться другий з останніх інтегралів, виконано , тобто в обох випадках виконано , або . Отже:

,

.

Звідси дістаємо:

, а тоді:

.

Враховуючи тепер (*), звідси отримуємо:

.

Зауваження. Нерівність Чебишова для практики має досить обмежене значення, оскільки дає грубу, а іноді навіть тривіальну оцінку. Наприклад, якщо , то , а отже , і тоді нерівність вказує лише на те, що ймовірність відхилення невід’ємна, а це й так зрозуміло. Але теоретичне значення нерівності Чебишова досить велике, адже на його підставі можна довести інші, більш сильні твердження.

Приклади. 1. В освітлювальну мережу паралельно включено 20 ламп. Ймовірність того, що за проміжок часу лампа буде включена, дорівнює 0,8. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом включених ламп і середнім числом (математичним сподіванням) включених ламп за проміжок часу менше, ніж 3.

Знайдемо математичне сподівання та дисперсію числа ламп, що включено, для чого скористаємось розподілом Бернуллі (див. п. 2.11):

, .

За нерівністю Чебишова (при ) маємо:

.

2. Ймовірність появи події у кожному випробуванні дорівнює . Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події заключено у межах від 150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

Знайдемо математичне сподівання та дисперсію величини – числа появ події у 800 випробуваннях:

, .

Далі:

.

3. Дискретну випадкову величину задано законом розподілу:

	0,1	0,4	0,6
	0,2	0,3	0,5

Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити .

Знайдемо:

,

,

,

.