2.18. Властивості щільності розподілу.

Властивість 1. Щільність розподілу є функція невід’ємна:

.

Доведення. Функція розподілу є функція неспадна, отже її похідна – функція невід’ємна.

Властивість 2. Невласний інтеграл від щільності розподілу у межах від до дорівнює одиниці:

. (*)

Доведення. Маємо:

.

Рівність (*) називають умовою нормування для НВВ.

Приклад. Задано щільність розподілу НВВ:

.

Знайти сталу .

Маємо:

.

Звідси ,

.

Властивість 3. Якщо всі можливі значення НВВ належать відрізку , то тотожно дорівнює нулю при та при , причому:

.

Доведення. Користуючись Властивістю 4 функції розподілу (див. п. 2.15), маємо, що при , і при . Звідси й випливає, що при і при , адже похідна сталої дорівнює нулю. А тоді з умови нормування отримаємо:

.

Приклад. Задано щільність розподілу НВВ :

Знайти параметр .

Оскільки функція відмінна від нуля лише на відрізку , то

.

Звідси маємо:

.

Отже

,

2.19. Ймовірнісний зміст щільності розподілу.

Нехай – функція розподілу НВВ . За означенням щільності розподілу:

.

Оскільки , то

.

Якщо ми цю границю наближено замінимо виразом, що стоїть під знаком границі, то дістанемо:

.

Ця наближена рівність буде тим точніша, чим менше . Таким чином можна стверджувати, що щільність розподілу наближено дорівнює відношенню ймовірності потрапляння НВВ у малий інтервал до довжини цього інтервалу.

2.20. Числові характеристики неперервних випадкових величин.

Нехай – НВВ, і – її щільність розподілу.

Означення. Математичним сподіванням НВВ називається число

, за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно, тобто існує інтеграл

.

Якщо, зокрема, всі можливі значення НВВ належать відрізку , то

.

Легко зрозуміти при цьому, що тоді також належить відрізку . Дійсно, оскільки і , то

.

Або

.

А оскільки

, то

.

Можна довести, що для НВВ математичне сподівання має такі ж властивості, як і для ДВВ (див. п. 2.5):

1. ;

2. ;

3. для незалежних НВВ і : ;

4. .

Означення. Дисперсією НВВ називається число

, де , за умови, що цей інтеграл збігається. Якщо, зокрема, всі значення НВВ належать відрізку , то

.

Дисперсія НВВ також зберігає властивості дисперсії ДВВ, а саме:

1. ;

2. ;

3. ;

4. для незалежних НВВ і : .

Також справедлива наступна формула:

, тобто .

Означення. Середньоквадратичним відхиленням НВВ називається арифметичний квадратний корінь з її дисперсії:

.

Приклад. НВВ задано її щільністю розподілу:

Знайти .

Оскільки відмінна від нуля лише на інтервалі , тобто всі можливі значення величини належать цьому інтервалу, то

;

;

.