1.9. Ймовірність суми подій.

Розглянемо спочатку питання про ймовірність суми двох подій.

Теорема. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх добутку:

.

Доведення. Нехай – загальне число всіх елементарних наслідків випробування, – число наслідків, які сприяють події , – число наслідків, які сприяють події , – число наслідків, які сприяють сумісній появі подій і , тобто . Сума подій і полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Тому в число наслідків, які сприяють , увійдуть всі наслідки, які сприяють події , і всі наслідки, які сприяють події , всього таких наслідків . Помітимо, що до числа наслідків, які сприяють події , увійдуть і наслідки, які сприяють події , ці ж наслідки увійдуть і до числа наслідків, які сприяють події . Тому в сумі число наслідків, що сприяють , ураховано двічі. Отже одного разу треба позбавитися, і тому число наслідків, що сприяють , дорівнює . Таким чином:

, що й треба було довести.

Приклад. З колоди в 36 карт навмання виймається одна карта. Знайти ймовірність того, що ця карта або король, або бубна.

Нехай подія – карта є королем, подія – карта є бубною. Нас цікавить . Маємо: , , . Отже

.

Наслідок 1. Якщо події і несумісні, то ймовірність їх суми дорівнює сумі їх ймовірностей, тобто:

.

Дійсно, оскільки і несумісні, то , отже з теореми про ймовірність суми маємо .

Приклад. Стрілок стріляє по цілі, яку розділено на 3 частини, що не перетинаються. Ймовірність влучання в першу частину дорівнює 0,45, в другу – 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілок при прострілі влучить або в першу, або в другу частину.

Нехай подія – стрілок влучив в першу частину, подія – стрілок влучив в другу частину. Оскільки частини не перетинаються, то події і несумісні, отже

.

Наслідок 2. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:

.

Розглянемо три попарно несумісні події . Поява однієї з цих подій еквівалентна появі однієї з двох подій і , тому згідно з наслідком 1:

.

Для довільного числа попарно несумісних подій доведення проводиться методом математичної індукції.

Наслідок 3. Сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює 1:

.

Доведення. Взаємно протилежні події є несумісними, отже . З іншого боку («теорема Вінні-Пуха»), отже , звідки й випливає твердження.

Таким чином, ймовірність події знаходиться за формулою:

.

Наслідок 4. Ймовірність появи хоча б однієї з подій , які є незалежними в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій :

.

Доведення. Нехай . Подія та подія (жодна з подій не відбулася) протилежні, отже

(на підставі того, що події також є незалежними в сукупності, отже ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх ймовірностей), що й треба було довести.

Якщо, зокрема, , то , і тоді

.

Приклад. Три гармати роблять по одному пострілу. Перша гармата влучає в ціль з ймовірністю 0,8, а для другої та третьої ці ймовірності дорівнюють відповідно 0,7 та 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучання в ціль при одному залпі з всіх трьох гармат.

Нехай подія – в ціль влучила перша гармата, подія – в ціль влучила друга гармата, подія – в ціль влучила третя гармата. Ці події є незалежними в сукупності. Ймовірності протилежних подій: , , . Тому згідно з наслідком 4:

.