1.6. Статистичне означення ймовірності.

Класичне означення ймовірності події має суттєві обмеження. По-перше, припускається, що кількість елементарних наслідків випробування скінченна. В той же час на практиці зустрічаються випробування, де кількість наслідків нескінченна, наприклад у геометричних задачах. І навіть у тих випадках, коли кількість елементарних наслідків скінченна, вона може бути настільки великою, що практично підрахувати її неможливо, а також неможливо підрахувати число сприятливих наслідків (наприклад, у статистичній фізиці). По-друге, часто буває неможливо подати наслідок випробування у вигляді сукупності елементарних подій. Ще складніше вказати підстави, за яких можна вважати ці елементарні події рівноможливими. За цими причинами поряд з класичним означенням ймовірності, користуються іншими (аксіоматичне, геометричне, статистичне). Тут ми познайомимось зі статистичним означенням.

Нехай ми проводимо не одне випробування, а цілу серію випробувань. Число цих випробувань позначимо як . Припустимо, що в частині цих випробувань з’явилася подія , число цих випробувань позначимо як .

Означення. Відносною частотою події називається відношення числа випробувань, у яких з’явилася подія , до загального числа випробувань.

Таким чином відносна частота події визначається формулою:

, де – число появ події , – загальне число випробувань.

Приклад. Монета кидається 40 разів, з них 24 рази випав герб. Відносна частота появи герба:

.

Очевидно, що якщо змінюється загальне число випробувань , то, взагалі кажучи, буде змінюватись і число появ події , тобто . Відповідно і відносна частота, взагалі кажучи, залежить від : . Але спостерігання показали, що якщо в однакових умовах проводять експерименти, в кожному з яких число випробувань дуже велике, то відносна частота демонструє властивість стійкості, тобто в різних експериментах відносна частота змінюється незначно (тим менше, чим більше проведено випробувань). І ця відносна частота, як правило, залишається близькою до певної сталої величини. З’ясувалося, що це число – не що інше, як ймовірність події.

Таким чином, якщо встановлено відносну частоту події, то цю частоту можна прийняти за наближене значення ймовірності. Можна сказати, що відносна частота події є певним статистичним аналогом ймовірності цієї події.

Наведемо наступний приклад. Проводилися експерименти з киданням монети і фіксувалося число появ герба. Результати експериментів наведено в наступній таблиці:

Число кидань монети	Число появ герба	Відносна частота появ герба
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Ми бачимо, що при збільшенні числа кидань відносна частота появи герба стає все ближчою до числа 0,5, а це як раз ймовірність появи герба при одноразовому киданні монети. Цей факт є підставою для наступного (статистичного) означення ймовірності події.

Означення. Ймовірністю події називається границя відносної частоти події при необмеженому збільшенні числа випробувань. Тобто:

.

Очевидно, що таке означення ймовірності також має певні недоліки. По-перше, необхідна можливість, хоча б принципова, проведення необмеженого числа випробувань. По-друге, потрібні умови, що забезпечують стійкість відносних частот появи події в різних серіях достатньо великої кількості випробувань. І навіть якщо такі умови є, ми не можемо стверджувати, що при збільшенні кількості випробувань відносна частота події обов’язково буде прямувати до ймовірності цієї події. Це прямування також має тільки статистичний характер. Більш точний зв’язок між відносною частотою та ймовірністю події встановлюється теоремою Бернуллі (див. п. 2.41).