УДК 519.2

ББК 22.17

Щ

Основи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Автор:

Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент

Рецензенти.

Фамилия И. О.

Фамилия И. О.

Фамилия И. О.

Навчальний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальністю 6.070701 «геологія».

Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, необхідні таблиці, а також завдання для самостійної роботи студентів.

Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 4 от 21.03.2013).

Розділ I. Випадкові події.

1. Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.

Всі події, що відбуваються навколо нас, умовно можна поділити на дві групи. До першої групи відносяться так звані детерміновані події. Це такі події, про які завчасно можна стверджувати – відбудуться вони, чи не відбудуться. Наприклад, використовуючи закони класичної та небесної механіки, можна завбачити положення небесних тіл у обраний момент часу. До іншої групи відносяться випадкові події. Це такі події, які за наявності певного комплекса умов можуть відбутися, а можуть і не відбутися.

Приклади. 1. Нехай ми кидаємо монету. Чи можна визначити як саме вона впаде – «гербом» чи «решкою»? Напевно, якщо точно розрахувати рух монети, враховуючи всі фактори, що на його впливають (силу, з якою вона кинута, кут, під яким кинута, тощо), то можна передбачити випад, наприклад, «герба». Але зрозуміло, що за звичайних умов такий розрахунок практично неможливий. І практично ми не можемо завбачити ані випадіння «герба», ані «решки». Може відбутися й те, й інше. Таким чином, ми стверджуємо, що випадіння «герба» (також саме, як і «решки») – випадкова подія.

1. Нехай ми працюємо на комп’ютері – розв’язуємо якусь певну задачу, гра-

ємо в ігри, або користуємось мережею Інтернет. Чи можемо ми стверджувати, що комп’ютер буде працювати весь час, що нам потрібен? Очевидно ні. Можлива наявність цілої низки факторів, які можуть зашкодити безперебійній роботі комп’ютера – може відмовити який-небудь вузол комп’ютера, може з’явитися вірус, який буде заважати, може відбутися роз’єднання з мережею, може вимикнути електрика тощо. Тому безперебійна робота комп’ютера (і взагалі будь якого приладу) на протязі певного проміжку часу є подія випадкова.

Таким чином кожна випадкова подія є наслідком багатьох факторів або невідомих нам причин, які впливають на подію. І врахувати цей вплив неможливо.

Разом з цим можна помітити наступне. Нехай, наприклад, ми кидаємо монету не один, а декілька разів поспіль. Тоді «герб» буде випадати приблизно в половині всіх кидань. Скажемо, якщо ми кидаємо монету 20 разів, то «герб» випадає, як правило, 8 – 12 разів. А ось якщо «герб» випаде всі 20 разів, що теоретично, взагалі кажучи, можливо, то одразу ж виникає думка, що це щось невипадкове. Наприклад, у відомій індійській кінострічці «Помста та закон» один з головних персонажів мав монету, на якій на обох сторонах був «герб». Зрозуміло, що «герб» випадав при кожному киданні монети, чим її власник успішно користувався. А за звичайних умов така ситуація практично неможлива. Це свідчить про те, що, незважаючи на те, що появу кожної випадкової події окремо ми не можемо точно завбачити, при багаторазовому розгляді таких подій виникають певні закономірності. Вони називаються ймовірнісними. Дослідженням таких закономірностей займається теорія ймовірностей.

Таким чином, предметом теорії ймовірностей є вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Результати та методи теорії ймовірностей широко використовуються в багатьох галузях природознавства і техніки: теорії надійності, теорії масового обслуговування, в теоретичній фізиці, астрономії, теорії стрільби, теорії помилок спостерігань, тощо. Теорія ймовірностей є також теоретичною основою для математичної та прикладної статистики, яка у свою чергу використовується при плануванні та організації виробництва, аналізі технологічних процесів, а також в гуманітарних науках – психології, соціології та ін.

Дуже важливу роль методи теорії ймовірностей та математичної статистики відіграють у геолого-географічних науках (це питання більш детально висвітлено у п. 3.1).

Перші роботи, у яких виникли основні поняття теорії ймовірностей, з’явилися у XV – XVI століттях як спроба побудови теорії азартних ігор і належать таким видатним вченим, як Б. Спіноза, Дж. Кардано, Г. Галілей. Серйозні вимоги з боку природознавства (теорія помилок спостерігань, теорія стрільби, проблеми статистики) привели до необхідності подальшого розвитку теорії ймовірностей та використання більш розвинутого математичного апарату (кінець XVII – початок XVIII ст.). Особливу значну роль тут відіграли роботи Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса, К. Гауса, Я. Бернуллі, С. Пуассона, А. Муавра, П. Лапласа, Т. Байєса та ін.

Я. Бернуллі зробив перші теоретичні обґрунтування накопичених раніше фактів. Теорема, що ним доведена, отримала у подальшому назву «Закона великих чисел». З формально-аналітичного боку до цього ж напряму відноситься й робота М. І. Лобачевського, яку присвячено теорії помилок при вимірах на сфері.

Наприкінці XIX століття П. Л. Чебишов та його учні А. А. Марков та О. М. Ляпунов перетворили теорію ймовірностей у стрійну та послідовну математичну науку.

Подальшим розвитком теорія ймовірностей та випадкових процесів зобов’язана таким математикам, як С. М. Бернштейн, А. М. Колмогоров, О. Я. Хінчін, Б. В. Гнеденко, А. В. Скороход, В. С. Королюк, І. І. Гіхман, М. Й. Ядренко та ін.