13.Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси

П о определению моментом импульса системы точек относительно центра называют векторную сумму моментов импульса всех точек системы относительно того же центра:

Д ля каждой точки системы можно записать уравнение моментов в виде:

где: ― сумма моментов внешних сил, приложенных к k-й точке, а ― сумма моментов внутренних сил, приложенных к k-й точке.

Суммируя уравнения моментов для всех точек системы, получим:

Учитывая, что векторная сумма моментов всех сил равна нулю,

Совершенно аналогично выводится уравнение моментов относительно произвольной оси:

где: ― сумма моментов внешних сил относительно произвольной оси Z.

14.Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского)

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

р авнялась . Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью .

Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью .

П рименим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:

От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной , имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим,

что при отделении массы от основного тела на него действует

дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость ,

а направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

15.Первое и второе соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде (96 или 97)

Интегрируя, получим:

Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка , когда ,а . Тогда:

Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость

ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива , содержащегося в нём: .

В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.