12.4. Коллинеарная генерация второй гармоники при синхронизме
Предполагается, что нелинейный кристалл вырезан таким образом, что нормаль к его поверхности образует угол с оптической осью . Нормально падающая волна накачки приведет к генерации второй гармоники, которая будет распространяться в том же направлении. Это приблизительно так, поскольку прочие направления не соответствуют синхронной генерации и дадут меньший вклад в общую интенсивность гармоники. Поскольку вектор Пойнтинга направлен под некоторым углом к направлению фазовой скорости, лучи накачки и гармоники будут расходиться. Для рассмотрения простой ситуации будет предположено, что волны плоские (или радиус пучков очень большой).
Система уравнений, описывающая ГВГ в условиях синхронизма, записывается как
,
.
(11)
Надо перейти к вещественным переменным, согласно формулам
.
Подстановка этих выражений в (11) дает
,
.
Или
,
,
где
.
Собирая из этой системы отдельно вещественные и мнимые части, можно получить систему уравнений
,
,
,
.
Существенной переменной является разность фаз , а не сами фазы. По тому надо получить уравнение для этой существенной величины. Из уравнений для фаз следует, что
,
.
Отсюда
.
Таким образом, полная система уравнений, описывающая ГВГ в условиях синхронизма, есть
, (12.1)
, (12.2)
. (12.3)
Из первых уравнений этой системы следует первый интеграл
.
(13)
Этот интеграл – соотношение Мэнли-Роу – показывает, что потоки энергии накачки и гармоники направлены в одну, общую для них, сторону. И, что каждый фотон накачки образован из двух фотонов гармоники. (Упражнение)
Если в (12.3) умножить обе части на
,
то получится выражение
.
Из оставшихся уравнений системы (12) следует, что
,
,
Следовательно,
,
или
,
.
Таким образом, получается второй интеграл движения:
.
(14)
Если рассматривать ГВГ при условии,
что на поверхность кристалла падает
только вона накачки, т.е.,
,
,
то из (13) и (14) можно найти значения обоих
интегралов движения,
,
.
Из второго выражения следует, что
или
.
И разность фаз постоянна, тогда обе
амплитуды могут меняться согласно
уравнениям (12.1) и (12.2). Чтобы эти уравнения
описывали убыль накачки и рост гармоники
в самом начале процесса ГВГ, надо
потребовать, чтобы производные при
имели нужные знаки, то есть,
и
.
Это будет так, если
.
Таким образом, амплитудные уравнения
принимают следующий вид
,
.
(15)
При этом,
.
Используя это условие, можно получить
уравнения для амплитуды гармоники
.
Видно, что удобно ввести новую переменную
:
.
Тогда
,
и
,
.
Решение этого уравнения есть
.
Поскольку
,
.
Следовательно,
.
Для амплитуды гармоники можно теперь записать выражение
.
(16.1)
Чтобы получить амплитуду волны накачки, надо использовать соотношение Мэнли-Роу: , или из второго уравнения системы (15)
.
(16.2)
Из полученных формул видно, что есть
характерный параметр – длина
преобразования,
.
На этой длине амплитуда гармоники
достигает примерно 0,76 от своего
максимально возможного значения.
Мощность накачки спадает примерно в
2,25 раз. Если длина нелинейного кристалла
много меньше длины преобразования, то
амплитуда гармоники определяется
выражением
,
или , что совпадает с формулой (8).
Картинки нарисовать
При синхронизме и без синхронизма.
Fig. 7.1.1.
Normalised plots of second harmonic intensity and fundamental intensity vs length of medium z
|
|
Рисунок
Иллюстрация определения направления (фазового) синхронизма в одноосном кристалле Красные линии отвечают второй гармоники, черные линии отвечают накачке. Сплошными линиями показаны поверхности показателей преломления необыкновенной волны, пунктиром показаны поверхности показателей преломления (диэлектрической проницаемости) обыкновенной волны. Синими стрелками показано направление, вдоль которого фазовые скорости накачки и гармоники совпадают. |
|
Упражнение 1. Записать укороченные уравнения, описывающие генерацию третьей гармоники, сложение частот, эффект автомодуляции.
Упражнение 2. Получить выражение
для угла фазового синхронизма в случае
одноосного кристалла, где
.
Упражнение 3. Выразит соотношение Менли-Роу в терминах чисел фотонов. И через компоненты вектора Поинтинга.
Упражнение 4. Найти выражение для амплитуды накачки и гармоники при ГВГ в условиях синхронизма без приближения заданного поля.