14. Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

Перпендикулярен векторам и .

Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

15. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю

Различные уравнения прямой

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0            

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                       (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.

  Теория

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀)параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) иB(x₁,y₁,z₁) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точкуA(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

РАСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ.Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀,z₀)до прямой Аx+By+C=0 вычисляется по формуле:

УРАВНЕИЕ плоскости

Общее уравнение плоскости.

Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂) N (x₃;y₃)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

;

;

Нормальное уравнение плоскости.

Углы

Угол между прямыми.

Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

Прямая L:

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между и .

Найдем , если

, т.к.

. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или