Вопрос 5.

1.8. Граничные условия

На практике имеем дело не с бесконечно однородными, а с кусочно-однородными телами. При применении формул преобразования (Остроградского и Стокса) мы оговаривали, что их непосредственное использование требует конечности и непрерывности подынтегральной функции и их производных как внутри области интегрирования, так и на её границе. В связи с этим уравнения Максвелла имеют место только в обыкновенных точках поля, в которых все векторы и функции конечны и непрерывны вместе со своими производными.

Однако в пространстве, заполненном веществом, могут существовать особые поверхности, в точках которых векторные и скалярные функции, введённые теорией для описания электромагнитного поля, и их производные терпят разрыв непрерывности. Такими особыми поверхностями являются поверхности соприкосновения (заряженные или незаряженные) или границы раздела между средами с различными параметрами , .

Существует общий математический приём: вначале эти точки или поверхности исключают из рассмотрения, а потом делают предельный переход, если он даёт результат.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов , :

а ) Имеем поверхность соприкосновения (границу раздела) двух сред (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Заменим эту поверхность конечным слоем и построим в этом слое элементарный цилиндр. Проведём нормали и . Параметры внутри слоя достаточно быстро меняются от значений , до значений , . Для выделенного цилиндра запишем постулат Максвелла

Так как цилиндр очень маленький (элементарный), то поток вектора можно записать по частям, взяв средние значения.

где – среднее значение нормальной составляющей вектора в первой среде через площадку ;

– среднее значение нормальной составляющей вектора во второй среде через площадку ;

– поток вектора через боковую поверхность цилиндра;

– заряд внутри цилиндра.

Будем сжимать слой до поверхности (до нуля), т. е. При

причём .

Поэтому при получим:

Отсюда

где – среднее значение поверхностной плотности заряда.

Теперь устремим т. е. возьмём пределы от левой и правой частей последнего равенства при Нетрудно заметить, что при

В результате такого предельного перехода получим:

(1.39)

.

Выражение (1.39) представляет граничное условие для нормальных составляющих вектора на границе раздела двух сред с конечными значениями , .

Если спроектировать вектор на какую-либо одну из нормалей или , и учитывая, что , то получим:

В

(1.40)

проекции на

В

(1.41)

проекции на

Формулы (1.40) и (1.41) представляют разновидности граничного условия (1.39) для нормальных составляющих вектора .

б) Получим граничное условие для нормальной составляющей вектора .

Известно, что . Тогда в соответствии с формулой Остроградского

получим, что и

Рассуждая аналогично, как и для вектора получим:

(1.42)

Формула (1.42) представляет граничное условие для нормальных составляющих вектора

в) Аналогично рассмотренным случаям получим граничное условие для нормальных составляющих вектора плотности полного тока .

Известно, что . Применяя формулу Остроградского

получим, что и

Следовательно,

(1.43)

X

Формула (1.43) и есть граничное условие для нормальных составляющих вектора

Граничные условия, выраженные формулами (1.39), (1.42) и (1.43), формулируются следующим образом: при переходе через границу раздела между двумя средами с различными параметрами нормальная к поверхности составляющая вектора терпит разрыв непрерывности, равный по величине поверхностной плотности заряда . Нормальные же составляющие векторов и остаются непрерывными.

Рассмотрим некоторые, встречающиеся на практике случаи граничных условий, которые следуют из формул (1.39), (1.42), (1.43).

1. Если поверхность раздела не заряжена т. е.

В этом случае в соответствии с (1.39) нормальная составляющая вектора остаётся непрерывной. В рассматриваемых нами изотропных средах, как известно,

.

Из (1.39) и (1.42) имеем

или

Следовательно, нормальная составляющая вектора на границе раздела сред с различными параметрами терпит разрыв непрерывности и в том случае, когда поверхность не заряжена ( ). Так же терпит разрыв непрерывности и нормальная составляющая вектора , если .

2. Получены граничные условия , а Известно так же, что .

Учитывая данные равенства и выражение (1.38) , можно записать:

(1.44)

X

Если то нормальная составляющая объёмной плотности тока проводимости на поверхности раздела двух сред терпит разрыв непрерывности, равный по величине производной по времени от поверхностной плотности заряда , взятой с обратным знаком.

3) Выясним теперь, при каких условиях поверхностный заряд существует и при каких отсутствует. Это важно при введении в теорию идеализированных сред (идеальные диэлектрики и идеальные проводники ), которые находят широкое применение в практических расчётах, так как при этом решение задач значительно упрощается и во многих случаях приводит к вполне удовлетворительным по точности результатам.

Нам уже известно, что

Если , то при отличных от нуля нормальных составляющих вектора должно выполняться условие:

(1.45)

, т. е.

Следовательно, при произвольных, отличных от нуля параметров и соприкасающихся сред, поверхностная плотность зарядов на границе раздела всегда отлична от нуля, за исключением тех частных случаев, когда параметры соприкасающихся сред удовлетворяют уравнению (1.45).

Если же одна из сред является идеальным диэлектриком, например, , то уравнение (1.45) не удовлетворяется и, следовательно, . При этом уравнение (1.44) соответствует уравнению непрерывности потока зарядов к границе раздела. Очевидно, и в том случае, когда одна из сред является идеальным проводником ( ).

Во всех этих случаях поверхностные заряды являются индуктированными в проводящей среде нормальной составляющей вектора . В этом случае, когда обе соприкасающиеся среды – идеальные диэлектрики ( , поверхностная плотность заряда , если только поверхность раздела специально не заряжена.