40. Логистикалық бейнелеуді түсіндіріңіз.

Бірөлшемді айырымдық теңдеу (логистикалық бейнелеу)

Х_n+1=rx_n(1-x_n) , n=1,2,..,N

r>1 болған кезде логистикалық бейнелеу екі тепе теңдік нүктесі бар бейнесінің орнықтылығын анықтау үшін тыныштық нүктесінде |f `(x)| жанама мәнін табу керек. Егер | f `(x)|>1 болса, тыныштық нүктесі орнықты емес. Егер 1<r<3 болса логистикалық теңдеудің екі тыныштық нүктесі бар; х=0, (r-1)\r бұндағы координаттар басы орнықты емес, ал екінші тыныштық нүктесі орнықты.

Бірақ r=3болғанда х =( r-1)\r кезіндегі жанама 1-ден асады және тепе теңдіктің екі нүктесі де орнықсыз болып кетеді. r параметрінің мәні 3 пен 4 аралығында болғанда қарапайым айырымдық теңдеу көппериодтық және хаостық қозғалысты сипаттайды. r =3 болғанда орнықсыз стационарлық шешім болады, бірақ бицикл немесе екіпериодтық орбита орнықты болып қалады.

R мәнін ары қарай ұлғайтса екіпериодты орбита орнықтығын жоғалтады және периодты 4 тең цикл қалыптасады, ол бифуркациялар арқылы r дың бұдан да үлкен мәндерінде периоды 8ге тең циклмен ауысады. Бұл периодтық екі еселену процесі r=3,56994 тең болғанға дейін жүреді.

Бифуркациялық диаграммалар. Диаграмма динамикалық айнымалының айнымалының масштабының бөлінуінің көрнекі мысалы, масштабының скейлинг қасиеттерін көрсетеді, яғни көріністің бір элементі кішірек масштабта қайталана береді.

Логистикалық бейнелеудің бифуркациялық диаграммасын салынатын файлдың листингі

Function Logotbr(rb,rh,N);

X=r*x*(1-x) ---

rb=0.01;

rh=0.01;

N=500;

rk=rh*(N-1)+rb;

r=[rb:rh:rk];

x(1:N)=0.1;

for i=1:1000

x=(1-x).*x.*r;

end

for i=1:1000

plot(r,x,'k.');

hold on

x=(1-x).*x.*r;

end

plot(r,x,'k.');

xlim([2.7 4.1]);

xlabel('x');

ylabel('y');

title('logistikalyk beineleudin bifurkasialyk diagrammasy');