Уравнения сохранения

Для движущихся и покоящихся материальных тел, находящихся в твердом, жидком или газообразном состоянии, справедливы основные законы сохранения (закон сохранения массы, закон сохранения количества движения и закон сохранения энергии). Поэтому задачи определения параметров состояния и движения тел решаются с помощью уравнений сохранения или уравнений, полученных из основных законов сохранения.

Большое число задач расчета течения жидкости может быть решено в одномерной стационарной постановке. Поэтому ниже приводятся основные уравнения для трубки. Данные уравнения могут использоваться также в случае течения на участке канала в гидравлическом приближении.

Закон сохранения массы (уравнение неразрывности) принимает форму условия постоянства расхода жидкости в сечениях 1 и 2

или ,

где G – массовый расход жидкости;  – плотность жидкости; u – скорость жидкости; F – площадь сечения трубки.

В дифференциальной форме для участка

.

Уравнение сохранения энергии при принимает для канала в общем случае вид

(1.1)

где dq– удельная теплота (Дж/кг), подводимая к потоку жидкости на элементарном участке; – приращение удельной внутренней энергии; – работа сил давления; – приращение удельной кинетической энергии; – приращение потенциальной энергии; – удельная техническая работа.

Подвод тепла осуществляется в общем случае двумя способами: извне (dq_внеш) за счет теплообмена через поверхность трубки и изнутри (dq_вн) за счет преобразования в тепло работы трения. Таким образом, dq = dq_внеш + dq_вн.

Связав тепловыделение от гидравлических потерь с совершением дополнительной работы на преодоление сопротивления на участке. Так как dq_вн = dl_тр, можем записать уравнение (1.1) как

(1.2)

Учитывая, что – изменение энтальпии, можно придать уравнению (1.2) следующую форму:

или . (1.3)

Уравнение энергии (1.3) называют также уравнением теплосодержания.

Можно получить механическую форму уравнения энергии, куда не входят температура газа, но входят давление и плотность.

Согласно первому закону термодинамики

. (1.4)

Вычтя из уравнения (1.1) равенство (1.4), получим

,

после интегрирования которого, будем иметь

.

Выведенное уравнение носит название обобщенного уравнения Бернулли.

Уравнение количества движения для потоков жидкости и газа имеет вид

,

где dP_п – сила трения; dP – реакция от твердого тела (стенки, компрессора, турбины).

При расчетах течений газов уравнения сохранения дополняют уравнением состояния; обычно используется уравнение состояние идеального газа

p = RT,

где R – удельная газовая постоянная, Дж/(кг·К).

В газовых потоках скорость частиц часто удобнее выражать безразмерными величинами – числом Маха или приведенной скоростью . Числом Маха называют отношение скорости потока к местной скорости звука в потоке

Скорость звука определяется по формуле

где  = c_p/c_v – отношение теплоемкостей.

Приведенной скоростью называют отношение скорости потока к критической скорости

Критическая скорость – это скорость потока газа, равная местному значению скорости звука в газе и определяется по формуле

где T^* – температура торможения (температура, получаемая при уменьшении скорости потока до нуля при отсутствии обмена энергией с окружающей средой).

При торможении потока меняются также давление и плотность. Величина давления p^* при изоэнтропическом торможении носит название полного давления или давления стационарного торможения.