2. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Определение: если существуют квадратные матрицы B и А одного порядка, удовлетворяющие условию: BA = AB = E, где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица B называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Вычисление обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим .

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если .

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через , так что . Обратная матрица вычисляется по формуле

,

где — алгебраические дополнения элементов .

Для нахождения обратных матриц больших порядков, обычно применяют следующую формулу , где — дополнительный минор элемента матрицы А.

3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.

Описание метода:

Пусть исходная система будет представлена в следующем виде:

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к виду трапеции:

Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если , то рассматриваемая система несовместна.

Предположим, что .

Перенесем свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом :

где .

Если свободным переменным системы придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путем элементарных преобразований над исходной системой , то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы.

Следствия:

• Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определенной.

• Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределенной, либо несовместной.

Условие совместности:

Упомянутое выше условие может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности (рангом совместной системы называется ранг ее основной матрицы (либо расширенной, так как они равны)).

2. Практическая часть

   1. Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Дана система линейных уравнений:

(9)

Решение:

1. Запишем основную матрицу системы (9)A:

(10)

Найдем главный определитель системы (9):

(11)

так как , система имеет единственное решение.

2. По теореме Крамера:

где:

, ,

Осуществляем проверку. Подставляем полученные значения неизвестных в систему уравнений (9):

-верно.

Ответ: