§ 2. Спектр ограниченного оператора

В этом параграфе мы изучим свойства спектра ограниченного операто-ра а комплексном банаховом пространстве.

Т е о р е м а 1. Пусть ограниченный оператор, действующий в бана-ховом пространстве . Тогда является замкнутым множеством и значная функция является аналитической в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть регулярное значение оператора и . Поскольку , то по теореме 2 предыдущего парагра-фа ряд сходится, а его сумма представляет собой аналити-ческую функцию в круге . Поскольку рассмотренный ряд явля-ется рядом Неймана оператора , то . Определим теперь . Очевидно, что является аналитической в и

Таким образом, является резольвентой оператора и теорема доказана.



Т е о р е м а 2. Пусть ограниченный оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве ненулевой размерности. Тогда непусто и содержится в круге .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда ряд сходится и его сумма является ограниченным оператором, обратным к . Посколь-ку

,

то является регулярным значением и

Отсюда получаем, что .

Осталось доказать непустоту . Допустим противное. Тогда будет операторнозначное функцией, аналитической во всей комплексной плоскос-ти. Кроме того, если , то аналитическая функция

при . По теореме Лиувилля . В силу теоремы единственности о разложении функции в ряд Лорана имеем

, .

Поскольку был произвольным из , то

.

Это означает, что . Последнее противоречит предложению .



§ 3. Самосопряженный оператор

Пусть теперь гильбертово пространство над полем . Чтобы не путать обозначения формул двойственности, будем обозначать скалярное произведение в круглыми скобками. Напомним также, что можно отождествить с самим пространством. Более точно, оператор , действующий по формуле

,

осуществляет изометрию между и . При этом

и .

О п р е д е л е н и е. Если линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , то под его гильбертовым сопряженным оператором понимается оператор

, ,

действующий в .

Заметим, что для любых выполняется

.

Другими словами, в основу определения оператора можно положить равенство

.

Говорят, что подпространство является инвариантным относительно оператора , если .

Т е о р е м а 1. Пусть линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве и его инвариантное подпространство. Тогда является инвариантным подпространством оператора .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , . Тогда

.



О п р е д е л е н и е. Линейный ограниченный оператор , действую-щий в гильбертовом пространстве , называется самосопряженным, если . Другими словами, для всех выполняется

.

Т е о р е м а 2. Пусть ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве . Тогда

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим

.

Из неравенства

,

которое выполняется для любого с нормой , следует, что . Для доказательства противоположного неравенства заметим вначале, что из тождества

следует неравенство

,

которое в силу тождества параллелограмма можно переписать в виде

.

Пусть произвольные ненулевые элементы из и , где . Положим

.

Тогда

.

Полученное выше неравенство запишется в виде

.

Полагая здесь , получаем

.

Следовательно, и теорема доказана.



С л е д с т в и е. Пусть ограниченные самосопряженные опера-торы и . Тогда .

Действительно, и по теореме

.



Т е о р е м а 3. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственное значение и соответ-ствующий ему собственный вектор, т.е. . В силу самосопряженности

.

С другой стороны,

, .

Следовательно, и .



З а м е ч а н и е. Из доказательства следует также формула , которая показывает, что собственные значения положитель-ного оператора, для которого выполняется неравенство при всех , являются неотрицательными.

Т е о р е м а 4. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственные значения и

соответствующие им собственные векторы. Тогда

и

.

