§ 2. Основные принципы функционального анализа

В анализе важное значение имеют результаты, связанные с продолже-нием функций с множеств на все пространство с сохранением свойств. К этому кругу результатов относится классический результат линейного анализа – теорема Хана-Банаха, известный как принцип продолжения.

Т е о р е м а 1.5. (Х а н а – Б а н а х а). Пусть линейное нормированное пространство и подпространство в нем. Тогда для любого существует такой , что для всех и

.

Доказательство приведено в курсе функционального анализа.

Пусть и . Как известно [1, стр. 137 – 139], линейный функционал вполне определяется гиперплоскостью . Пусть расстояние от до нуля. Поскольку для любого выполняется неравенство

то . С другой стороны, из определения нормы следует, что

.

Но тогда элемент будет принадлежать и для него

,

т.е.

.

Следовательно,

.

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем .

В результате,

.

Л е м м а 2. Пусть банахово пространство и произвольный не-нулевой элемент в нем. Тогда найдется такой функционал , что и .

З а м е ч а н и е. Другими словами, через проходит гиперплоскость и является ближайшим к началу элементом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подпространство . Определим на функционал посредством равенства . Тогда и поскольку

то

.

По теореме Хана-Банаха существует продолжение этого функционала до с сохранением нормы, т.е. и .

Т е о р е м а 6. (о д о с т а т о ч н о м ч и с л е л и н е й н ы х н е -

п р е р ы в н ы х ф у н к ц и о н а л о в). Пусть банахово пространство и . Тогда найдется такой , что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . По условию . Следовательно, найдется , для которого и . Поскольку , то теорема доказана.



Следующая теорема имеет важное значение в теории операторов, ее относят к одному из основных принципов функционального анализа, так называемому принципу равномерной ограниченности.

Т е о р е м а 7. (Б а н а х а – Ш т е й н г а у с а). Пусть банахово пространство и семейство линейных ограниченных операторов, дейст-вующих из в нормированное пространство . Тогда если для каждого конечен

,

то и

.

В завершение данного параграфа приведем еще два важных факта функционального анализа – принцип открытости отображения и теорему Банаха об обратном операторе.

Т е о р е м а 8. (п р и н ц и п о т к р ы т о с т и о т о б р а ж е н и я ). Пусть линейный ограниченный оператор, отображающий бана-хово пространство на банахово пространство , т.е. является сюръек-цией. Тогда каждое открытое множество переводится в открытое мно-жество пространства .

Т е о р е м а 9. (Б а н а х а о б о б р а т н о м о п е р а т о р е). Пусть линейный ограниченный оператор, осуществляющий биекцию банахова пространства на банахово пространство . Тогда обратный опе-ратор также является ограниченным.

Доказательства теорем 7 – 9 приведены в курсе функционального анализа.