Глава 3. Спектральные свойства ограниченных операторов

§ 1. Векторнозначные аналитические функции

При решении вопроса о непустоте спектра ограниченного оператора приходится рассматривать банахово пространство над полем комплексных чисел. Это не случайно, поскольку именно в поле комплексных чисел разрешимы алгебраические уравнения. Кроме того, для решения этого вопроса недостаточно разработанных ранее геометрических методов и требуется развитие аналитических средств. В этом параграфе мы введем понятие аналитической функции, принимающей значения в банаховом пространстве над полем комплексных чисел. В действительности, нам придется рассматривать операторнозначные функции. Однако, как мы виде-ли, сами линейные ограниченные операторы образуют банахово пространство.

Имеется два подхода к определению аналитической векторнозначной функции.

О п р е д е л е н и е. Функция , определенная в области комп-лексной плоскости и принимающая значения в банаховом пространстве над полем , называется сильно аналитической, если в каждой точке существует предел в смысле нормы пространства

.

Начав с такого определения, можно развить теорию аналитических векторнозначных функций, вполне аналогичную классической теории. В частности, устанавливается возможность представления в окрестности точки аналитической функции в виде степенного ряда с коэффициентами из и равномерно сходящегося в норме этого пространства. Другой подход определения аналитических векторнозначных функций основывается на теории двойственности и значительно быстрее позволяет применить методы комплексного анализа в теории операторов.

О п р е д е л е н и е. Функция называется слабо аналитической в области , если для комплекснозначная функция является аналитической в .

З а м е ч а н и е. В силу непрерывности скалярного произведения всякая сильно аналитическая функция является и слабо аналитической.

Т е о р е м а 1. Пусть функция, определенная в области и принимающая значения в банаховом пространстве над полем . Тогда из слабой аналитичности следует сильная аналитичность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фиксированная точка области . В силу полноты пространства для доказательства дифференцируемости функции в точке достаточно проверить выполнимость критерия Коши функции

при . Для произвольного функция является аналитичес-кой в . Поэтому в круге , содержащемся в вместе со своим замыканием, можно представить эту функцию интегральной формулой Коши

,

где положительно ориентированная граница круга . Для , удовлетворяющих неравенствам , можно провести следую-щие оценки:

и

.

Рассматривая , , как семейство операторов, мы можем применить теорему Банаха – Штейнгауса, согласно которой

.

Но тогда

,

, , . В силу формул двойственности получаем

.

Отсюда следует выполнимость критерия Коши.



Т е о р е м а 2. Пусть последовательность в банаховом простран-стве над полем , удовлетворяющая условию . Тогда ряд сходится по норме для , а его сумма представляет собой аналитическую значную функцию в круге .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость ряда доказывается так же, как и в скалярном случае, с использованием признака Вейерштрасса. Покажем, что является аналитической функцией. Пусть . Тогда

.

Однако, полученный числовой ряд сходится в круге , поскольку . Таким образом, слабо аналитична в .

