§ 6. Спектр оператора. Резольвента

Уравнение Фредгольма второго рода можно записать в операторной фор-ме , где компактный оператор, действующий в банаховом про-странстве . Его разрешимость тесно связана со свойствами уравнения , которое можно заменить на уравнение . Изучение последнего тесно связано с важным понятием спектра оператора.

О п р е д е л е н и е. Число называется регулярным для , ес-ли биекция с ограниченным обратным. Оператор называется резольвентой. Совокупность тех , которые не являются регу-лярными, образуют спектр оператора .

З а м е ч а н и е. Если банахово пространство, то по теореме Банаха об обратном операторе из биективности следует ограниченность .

О п р е д е л е н и е. Пусть банахово пространство и . Число называется собственным значением оператора , если уравнение имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значе-ний из называется точечным спектром, а остальная часть – непрерыв-ным спектром.

З а м е ч а н и е. У конечномерного оператора отсутствует непрерывный спектр.

О п р е д е л е н и е. Если является собственным значением, то подпространство собственных векторов оператора , отвечающих собственному значению . Кратностью собственного значения называется число .

З а м е ч а н и е. инвариантно относительно и на .

Т е о р е м а 1. Совокупность собственных векторов, отвечающих различ-ным собственным значениям, линейно независима.

Л е м м а (о п о ч т и п е р п е н д и к у л я р е). Пусть подпростран-линейного нормированного пространства и . Тогда

и .

С л е д с т в и е 1. Единичный оператор, действующий в бесконечномер-ном пространстве, некомпактен.

С л е д с т в и е 2. Ненулевое собственное значение компактного опера-тора имеет конечную кратность.

§7. Теория Фредгольма

Здесь мы рассмотрим взаимосвязь между разрешимостью уравнений

(7.1)

и

(7.2)

Уравнение (7.2) называется однородным уравнением уравнения (7.1). Опера-тор будем считать компактным, действующим в банаховом пространстве . Для удобства будем обозначать . Наряду с уравнениями (7.1) и (7.2) будем также рассматривать сопряженные к ним

(7.1)

и

(7.2)

А. Замкнутость подпространства

Для доказательства этого результата нам потребуется одна лемма.

Л е м м а. Пусть конечномерное подпространство нормированного пространства . Тогда существует такое замкнутое подпространство , что

и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в базис . Каждый элемент единственным образом представим в виде

.

При этом можно рассматривать как линейные функционалы, определенные на . Поскольку конечномерно, то являются непре-рывными функционалами. По теореме Хана – Банаха они с сохранением нормы продолжаются на все пространство . Пусть этими функционалами являются . Тогда

.

В силу непрерывности подпространство является замкнутым. Определим и покажем, что это – искомое подпространство. Его замкнутость следует из замкнутости . Если произвольный элемент из , то

принадлежит . Кроме того, для каждого получаем

,

т.е. . Следовательно,

.

Остается заметить, что в силу независимости подпространство пересекается с лишь по нулевому элементу.



Т е о р е м а 1. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве . Тогда для образ оператора является замкнутым подпространством в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойств спектра компактного оператора следует, что конечномерно. По лемме существует замкнутое подпространство такое, что и .

Рассмотрим сужение оператора на подпространство . Обозначим его . Поскольку , то инъекция. Сюръективность этого отображения следует из равенства . Докажем также, что

(7.3)

при некотором . Действительно, в противном случае нашлась бы такая последовательность , что

и при .

В силу компактности оператора из последовательности можно выде-лить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не менять обозначений, будем считать, что сама последовательность сходится. Обозначим ее предел через . Но тогда из условия

следует, что . Поэтому и

.

Однако в этом случае

,

что противоречит условию , т.к. мы получили .

Таким образом, условие (7.3) доказано. Пусть теперь , т.е. , где . Обозначим . В силу неравенства (10) эта после-довательность фундаментальна. Из полноты пространства и замкнутости подпространства следует принадлежность предела подпрост-ранству . Но тогда и .



Б. Соотношения между линейным и сопряженным к нему уравнениями

Напомним, что условие разрешимости уравнения (7.1) эквивалентно принад-лежности правой части подпространству .

Т е о р е м а 2. Пусть линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве и такой, что замкнутое подпрост-ранство. Тогда тогда и только тогда, когда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть , т.е. для некоторого . Тогда для любого будем иметь

.

Достаточность. Допустим противное, т.е. и . Поскольку замкнуто, то расстояние от до положительно. Пусть такое, что

.

На подпространстве определим линейный функционал по формуле

, .

Этот функционал ограничен, поскольку при и выполнено

,

т.е. . По теореме Хана – Банаха можно продолжить до некоторого

функционала с сохранением нормы . Но тогда будем иметь

,

что означает принадлежность подпространству . С другой стороны, по построению имеем

,

что противоречит предыдущему.



С л е д с т в и е. Если для компактного оператора уравнение (7.2) имеет только нулевое решение, то уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части.

Т е о р е м а 3. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве и . Тогда

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть , т.е. для некоторого из . Тогда для любого будем иметь

.

Достаточность. В силу свойств спектра компактного оператора подпростран-ство конечномерно. Согласно лемме, доказанной в начале параграфа, существует такое замкнутое подпространство , что

и .

Сужение оператора на является биекцией . Пусть теперь и для него выполняется условие теоремы. Определим на линей-ный функционал по формуле

.

Из теоремы 1 следует замкнутость . Поэтому в силу теоремы Банаха об обратном операторе является ограниченным и

.

Следовательно, является ограниченным на функционалом и . По теореме Хана – Банаха его можно продолжить с сохране-нием нормы до функционала . Но тогда, если произвольный эле-мент из , то представляя его в виде , , , получаем

.

Таким образом, и теорема доказана.

С л е д с т в и е. Если для компактного оператора уравнения (7.2) имеет только нулевое решение, то уравнение (7.1) разрешимо для любой правой части.

В. Альтернатива Фредгольма

Следующий результат устанавливает соотношение между уравнением (7.1) и соответствующим уравнением (7.2).

Т е о р е м а 4. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве и . Тогда либо уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части, либо однородное уравнение (7.2) имеет ненулевые решения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим вначале, что , т.е. уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части. Нам нужно тогда доказать, что . Допустим противное, т.е. ненулевое подпространство. Определим для натуральных подпространства . Поскольку , то . Покажем, что это – строго возрастающая последовательность подпространств. Действительно, если принадлежит , то решение уравнения принадлежит , но не принадлежит . Таким образом, имеет место строгое включение . Аналогично устанавливаются включения , . Далее, используя лемму из предыдущего параграфа, построим последовательность , удовлетворяющую условиям: , и . Выполнимость условий леммы следует из конечномерности подпространств . Выберем теперь произвольные натуральные и , . Пусть для определенности . Тогда принадлежат подпространству , а и расстояние от него до не меньше единицы. Используя это замечание, получаем

.

Последнее означает невозможность выделить из сходящейся под-последовательности, что противоречит компактности оператора . Полученное противоречие показывает, что предположение неверно.

Обратно. Допустим, что , т.е. однородное уравнение (7.2) имеет только нулевое решение. Тогда по теореме 3 уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части . Из доказанной части теоремы, примененной к оператору , имеем, что . Но тогда, в силу теоремы 2, уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части.



З а м е ч а н и е. В случае разрешимости уравнения (7.1) при любой правой части имеет место также единственность решения, поскольку в этом случае .

С л е д с т в и е. Пусть компактный оператор, действующий в банахо-вом пространстве . Тогда всякое ненулевое является собственным значением оператора .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Банаха об обратном операторе не может быть биекцией. Но тогда в силу альтернативы Фредгольма . Однако, это и означает, что существует собственный вектор, отвечающий значению .

