§ 5. Интегральные уравнения и интегральные операторы

Рассмотрим задачу о деформации упругой балки под действием непре-рывно распределенной нагрузки на отрезке . Исследуется прогиб балки под действием внешней поперечной нагрузки с плотностью . Считается, что на участок приходится нагрузка, равная . Будем также считать нагрузки не слишком большими, чтобы можно было воспользоваться свойством линейности: при сложении внешних нагрузок прогибы складываются. В этом случае упругие свойства балки вполне описываются функцией Грина , которая выражает прогиб в точке , полученный в результате действия в точке единичной нагрузки. Тогда суммарный прогиб балки от нагрузки выразится формулой

.

Допустим, что мы хотим подобрать внешнюю нагрузку так, чтобы получить заданный прогиб . Это эквивалентно решению записанного выше интегрального уравнения с известной функцией . В случае, когда известной является линейная комбинация

,

для восстановления внешнего воздействия требуется решить интеграль-ное уравнение вида

.

Характерной особенностью возникающих здесь уравнений является их линейность. Общая теория линейных интегральных уравнений была постро-ена на рубеже XIX и XX столетий в основном в работах В.Вольтерра, И.Фредгольма, Д. Гильберта.

Пусть измеримая в квадрате функция, удовлетворяющая условию

. (5.1)

Уравнение вида

, (5.2)

где известная функция, называется уравнением Фредгольма второго рода, а уравнение вида

, (5.3)

– уравнением Фредгольма первого рода. Функция называется ядром интегрального уравнения.

Сопоставим уравнениям (5.2) и (5.3), оператор , действующий по формуле,

. (5.4)

Исследование уравнений (5.2) и (5.3) сводится, таким образом, к изучению свойств оператора , который называется интегральным оператором Фред-гольма с ядром .

Т е о р е м а. Равенство (5.4), где удовлетворяет условию (5.1), определяет в пространстве компактный оператор и имеет место неравенство

. (5.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, прежде всего, что в силу теоремы Фубини интеграл

для почти всех существует и представляет собой суммируемую на функцию. Если , то является для почти всех суммируе-мой на . Поэтому определена функция

.

Кроме того, из неравенства

следует, что и

.

Следовательно, является линейным ограниченным оператором, а его норма удовлетворяет неравенству (5.5).

Покажем теперь что компактный оператор в предположении непрерыв-ности . Для этого нужно установить, что образ единичного шара является предкомпактным множеством. Поскольку из равномерной сходи-мости на следует сходимость в среднеквадратичном, то утверждение будет доказано, если мы покажем равномерную непрерывность семейства . Заметим также, что равномерная ограниченность этого семейства сразу же следует из неравенства

.

Фиксируем произвольно и выберем так, чтобы при всех ,

, выполнялось неравенство

.

Тогда если и , то

при . Следовательно, равностепенная непрерывность семейства и компактность оператора в случае непрерывного ядра доказаны.

В случае произвольного ядра выберем последовательность непрерыв-ных ядер так, чтобы

при . Тогда, если операторы, порожденные ядрами , , то в силу (5.5)

при . Поскольку предел последовательности компактных операторов является компактным оператором, то теорема доказана.

