§ 3. Описание сопряженных пространств

Пространство, сопряженное к пространству Лебега

Т е о р е м а 1. Пусть , , пространство с конечной мерой. Пространство изометрически изоморфно прост-ранству . Соответствующий изоморфизм задается формулой

. (3.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда формула (3.1) определяет линейный функционал на и в силу неравенства Гельдера имеем

.

Отсюда видно, что функционал ограничен и . Таким образом, уста-новлено включение .

Остается доказать, что любой функционал можно представить в виде (3.1) с некоторой функцией и .

Пусть . Для имеем и поэтому определено отобра-жение (или ) по формуле . Если причем пере-сечение и пусто при , то и ряд сходится в пространстве . Поэтому линейность и непрерывность влечет

.

Тем самым доказана счетная аддитивность . Последнее означает, что

заряд (комплекснозначный). Более того, является абсолютно непрерыв-ным относительно меры . Действительно, если , то почти всюду равна нулю, т.е. является нулем в и . Поэтому в силу теоремы Радона – Никодима существует такая функция , что

.

Покажем теперь, что и что выполняется (3.1) для каждой . В случае когда индикатор, представление (3.1) проверяется непосред-ственно

.

В силу линейности функционала и интеграла Лебега представление (3.1) распространяется и на простые функции. Для ограниченной измеримой функции можно построить последовательность простых измеримых функ-ций , сходящихся равномерно к . В силу теоремы Лебега и непрерыв-ности функционала предельный переход в равенстве

.

дает представление (3.1) и в этом случае.

Рассмотрим для каждого натурального функции

, , где

Эти функции ограничены, измеримы и

,

.

Записывая теперь неравенство с учетом полученных соотноше-ний, имеем

.

Поскольку при всех , то применение теоремы Фату дает

.

Таким образом, совпадает на множестве ограниченных функций с функцио-налом, задаваемым формулой (3.1). Поскольку множество ограниченных функций плотно в , то это совпадение распространяется на все прост-ранство и теорема доказана.

Пространство, сопряженное к гильбертову пространству.

Т е о р е м а 2. Пусть гильбертово пространство. Тогда существует единственный элемент такой, что

. (3.2)

При этом . Обратно, формула (3.2) определяет функционал с нормой .

Доказательство теоремы приведено в [1, стр. 202 - 203].

§ 4. Сопряженный оператор

Пусть линейные нормированные пространства и ли-нейный ограниченный оператор. Для каждого композиция будет представлять линейный непрерывный функционал на , т.е. . Таким образом, определено отображение , действующее по формуле

.

Это отображение называют сопряженным оператором к оператору . Его определение особенно естественно выглядит в терминах двойственности:

.

Следующий результат показывает, что отображение является изометрическим изоморфизмом пространств и .

Т е о р е м а 1. Пусть линейные нормированные пространства и линейный ограниченный оператор, действующий из в . Тогда линейный ограниченный оператор, действующий из в , и

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале линейность оператора . Пусть произвольные элементы из . Тогда будем иметь

т.е. .

Аналогично, если и , то

,

т.е. . Линейность доказана.

Наконец, используя соотношения двойственности, получим

.

Таким образом, и .



Т е о р е м а 2. Пусть банаховы пространства. Оператор

компактен тогда и только тогда, когда, когда компактен оператор .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим вначале, что . Нам нужно показать, что единичный шар пространства переводится посредством в предкомпактное множество. Пусть . Определим на последовательность функций

.

Множество является предкомпактным и для

,

т.е. семейство равностепенно непрерывно. Оно также равномерно ограничено

.

По теореме Арцела из него можно выделить равномерно сходящуюся на подпоследовательность . Замечая, что

приходим к фундаментальности последовательности . Поскольку банахово пространство, то эта последовательность сходится и компакт-ность оператора доказана.

Обратное утверждение можно вывести аналогичными рассуждениями. Однако, можно воспользоваться уже доказанным.

Пусть . По доказанному является компакт-ным оператором. Пусть изометрические вложения. Тогда . Действительно, имеем

.

Поскольку , то предкомпактное множество. В силу изометричности таковым является и множество , что и доказывает компактность .



В случае, когда операторы действуют в одном и том же пространстве , т.е. , образует алгебру. Следующий результат касается свойств отображения в алгебре .

Т е о р е м а 3. Пусть линейное нормированное пространство над полем и . Тогда

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим последнее соотношение. Пусть и - произвольны. Тогда

откуда следует, что . Остальные соотношения проверяются анало-гично.