Глава 2. Двойственность в банаховых пространствах

Пространства и тесно взаимосвязаны. Ряд этих связей будет выявлен в этой главе. Элементы сопряженного пространства будем обозна-чать , а значение через .

§ 1. Изометрические вложения. Рефлексивность

Следующий результат устанавливает некоторые свойства двойственности.

Т е о р е м а 1. Пусть линейное нормированное пространство и замкнутый единичный шар в нем. Пусть также замкнутый единичный шар в . Тогда

I.

II. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Соотношение I следует из определения опера-торной нормы.

Для доказательства II фиксируем . Отображение определяет линейный функционал на . Кроме того,

.

Следовательно, определяет линейный непрерывный функционал и . С другой стороны, по одному из следствий теоремы Хана – Банаха найдется такой ,что и . Но тогда для будем иметь

Отсюда и, следовательно, .



Из теоремы 1 следует, что каждый порождает элемент из . При этом отображение является изометрическим вложе-нием.

О п р е д е л е н и е. Если изометрическое вложение сюръек-тивно, то называется рефлексивным пространством.

Т е о р е м а 2. Если нормированные пространства и , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 1 и определения нормы оператора получается

.



§ 2. Слабые сходимости (топологии)

Слабая сходимость элементов. Пусть нормированное пространство. Для произвольных и конечного множества определим

. (2.1)

Очевидно, что является открытым множеством, содержащим нуль. Пересечение конечного числа множеств вида (2.1) содержит множество тако-го вида, поскольку

.

Следовательно, совокупность множеств вида (2.1) можно взять в качестве определяющей системы окрестностей нуля некоторой топологии. Полученная топология будет слабее исходной. Из теоремы о достаточном числе функционалов следует, что она удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Однако слабая топология может не удовлетворять первой аксиоме счетности и потому быть неметризуемой. Тем не менее сходимость в , определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие.

О п р е д е л е н и е. Последовательность элементов нормирован-ного пространства называется слабо сходящейся к элементу , если выполняется соотношение

.

Наличие аксиомы отделимости Хаусдорфа влечет единственность предела слабо сходящейся последовательности. Для обозначения слабой сходимости будем использовать запись

.

Т е о р е м а 1. Всякая слабо сходящаяся последовательность ограниче-на.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Рассмотрим в последователь-ность , соответствующую последовательности при изометрическом вложении в . По условию при . Другими словами, для последовательности выполнены условия теоремы Банаха – Штейнгауса, в силу которой

.



Слабая сходимость функционалов. Пространство можно рассматривать двояко: либо как основное пространство, связывая с ним , либо как пространство линейных ограниченных функционалов на . Поэтому наряду с сходимостью возникает еще один вид слабой сходимости.

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется сла-бо сходящейся к , если выполняется условие

при .

З а м е ч а н и е. В пространстве слабая топология слабее, чем слабая топология. Они совпадают в случае, когда рефлексивно. Из теоремы Банаха – Штейнгауса следует также ограниченность слабо сходящейся последовательности, если банахово пространство.

Значение слабой сходимости видно из следующего результата.

Т е о р е м а 2 (Б а н а х а – А л а о г л у). Пусть сепарабельное нормированное пространство. Тогда из всякой ограниченной последователь-ности можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-ность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию . Пусть счет-ное всюду плотное в подмножество. Используя диагональный метод Кан-тора, выбираем подпоследовательность , сходящуюся на всех элементах . Покажем, что последовательность сходится и при лю-бом . Действительно, для фиксированных и выберем так, чтобы выполнялось условие . Но тогда

.

Однако второе слагаемое можно сделать меньше при больше неко-торого номера. Таким образом, числовая последовательность фунда-ментальна, а потому сходится. Определим теперь на функционал

.

Очевидно, что линейный функционал. Кроме того,

.

Следовательно, и теорема доказана.

