Линейные уравнения в банаховых пространствах
Глава 1. Элементы теории линейных операторов
§ 1. Ограниченные операторы
А.Пространство ограниченных операторов
Пусть
линейные
нормированные пространства над полем
.
Через
обозначим совокупность всех ограниченных
операторов, дейст-вующих из
в
.
Заметим, прежде всего, что
является линейным пространством.
Действительно, если
и
ограниченные операторы, то можно выбрать
так, чтобы для всех
выполнялись неравенства
Но тогда
т.е
Аналогично устанавливается ограниченность
оператора
для
и ограниченного оператора
.
Пространство можно рассматривать как нормированное, опре-делив
З а м е ч а н и е.
Если
то
Кроме того,
Покажем теперь, что для операторной нормы выполняются все аксиомы.
Действительно,
если
то
Но тогда
и
.
Свойство
очевидно. Остается проверить неравенство
треу-гольника. Для этого заметим, что
оно следует из неравенства
Т е о р е м а 1. Пусть
нормированное
пространство, а
банахово пространство. Тогда
является банаховым пространством.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
фундаментальная
последователь-ность в
.
Нам нужно доказать, что она сходится в
пространстве
.
Для каждого
последовательность
является
фундаментальной в пространстве
.
Это следует из неравенства
и фундаментальности
последовательности
.
Таким образом, для каждого
определен предел
Очевидно, что
является линейным оператором. Нужно
доказать, что он ограниченный и что
при
.
Фиксируем произвольно
.
В силу фундаментальности последовательности
найдется такой номер
,
что при
выполняется неравенство
.
Но тогда для любого
будем иметь
Осуществляя в этом
неравенстве предельный переход при
,
получим
Это означает
ограниченность оператора
и,
что
Из ограниченности
операторов
и
следует ограниченность опера-тора
.
Поскольку неравенство
можно за счет выбора номера
сделать справедливым для любого
,
то и вторая часть утверж-дения доказана.
О п р е д е л е н и
е.
сопряженное пространство прост-ранству
.
З а м е ч а н и е.
Из теоремы 1 следует, что для любого
нормированного пространства
сопряженное пространство
является банаховым.
Б. Алгебра операторов
Пусть
банахово
пространство. Обозначим
Из теоре-мы 1 следует, что
также является банаховым пространством.
Поскольку операторы из
действуют из
в
,
то наряду со структурой линейного
пространства в
можно
ввести операцию произведения операторов
Оператор
будет непрерывным, поскольку композиция
непрерывных ото-бражений является
непрерывной. Введенная операция обладает
свойствами
Оператор
,
единичный, обладает свойством
для любого оператора
Таким образом,
образует
алгебру.
Л е м м а 1. Пусть
банахово
пространство и
.
Тогда
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого имеем
Из определения нормы следует, что
Наличие в линейных операций и операции умножения позволяет рассмотреть полиномы, у которых в качестве переменной выступает опера-тор из :
Очевидно, что
.
Используя степенные ряды в
,
можно опре-делить и более сложные
операторные функции. Особенно важное
значение имеет функция, представляющая
сумму ряда Неймана, аналог геомет-рической
прогрессии,
Пусть
частичная сумма ряда Неймана. Сходимость
ряда эквивалентна фундаментальности
последовательности
.
В частности, необходимым условием
является
.
Кроме того, из равенства
.
следует также, что
в случае сходимости ряда Неймана, его
сумма
удовлет-воряет равенству
,
т.е.
обратный
оператор к
.
Т е о р е м а 2. Пусть
банахово
пространство и
,
.
Тогда ряд Неймана сходится и его сумма
представляет собой оператор, обратный
к
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Остается установить сходимость
ряда. Это следует из того, что
,
т.е. ряд
мажорируется
сходящимся числовым рядом, что является
достаточным условием.
В. Компактные операторы
Напомним, что ограниченный оператор переводит ограниченные мно-жества в ограниченные.
О п р е д е л е н и е. Оператор , действующий в банаховом прост-ранстве , называется компактным, если он ограниченные множества пере-водит в предкомпактные.
З а м е ч а н и е. В нормированном пространстве конечной размерности каждый ограниченный оператор является компактным.
Т е о р е м а 3. Пусть
банахово
пространство,
и
ком-пактный
оператор. Тогда
и
являются компактными операторами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно.
Обозначим через
совокупность компактных операторов,
дейст-вующих в банаховом пространстве.
образует линейное подпростран-ство в
.
Т е о р е м а 4. является замкнутым подпространством в .
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
и
по норме пространства
.
Нам нужно доказать, что
компактный
оператор. Для этого достаточно показать,
что для всякой ограниченной
последовательности
последовательность
допускает выделение сходящейся
под-последовательности. В силу компактности
оператора
из
можно
выделить подпоследовательность,
сходящуюся в
.
Из этой подпосле-довательности можно
выделить подпоследовательность
так,
чтобы схо-дилась последовательность
и т.д.. Подпоследовательность
удов-летворяет условию
и является сходящейся для любого
.
Покажем, что и последовательность
сходится. Для этого достаточно проверить
ее фундаментальность.
Пусть
такое, что
для
любого
.
Фиксируем произвольно
и выберем
так, чтобы
.
Затем выберем
так, чтобы при
выполнялись неравенства
.
Но тогда
.