3.7. Понятие отображения

Частным видом отношения является отображение (функциональное соответствие).

Отображение – это закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X, однозначно соответствует определенный элемент y, другого заданного множества Y. Такое соответствие записывается в виде y=f(x) или f:xy, при этом говорят, что отображение f действует из X в Y и пишут f:X Y. Элемент y=f(x) называется образом элемента x, а x называется прообразом элемента y.

Отображение числового множества в числовое называется функцией.

Когда множества X и Y не числовые, отображение называется оператором. Отображение не числового множества в числовое называется функционалом. Отображение f:XX называется преобразованием множества X.

Иногда рассматривают отображения f, определённое на некотором подмножестве . В этом случае называется областью определения отображения f. Подмножество Im f={f(x) | xX} множества Y называется областью значений (образом )f.

Сужением (ограничением) отображения f:XY, на подмножество AX, называется отображение f_A(x), заданное равенством f_A(x)=f(x), для всех xA.

Расширением (продолжением, распространением) отображения f:XY на множестве BX (X – является подмножеством B) называется любое отображение f_B:BY, совпадающее с f на множестве X.

Если заданы три множества X,Y,Z и два отображения f:XY и g:YZ, то существует отображение h:XZ, которое определяется равенством h(x)=g(f(x)). Это отображение называется композицией (суперпозицией, произведением) отображений и обозначается gf. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности, то есть h(gf)=(hg)f.

Отображение называется тождественным , если f(x)=x, для всех xX. Отображение f:XY называется инъективным, если для любых двух элементов , таких что следует, что . Отображение называется сюръективным, если Imf=Y. Отображение, одновременно являющееся инъективным и сюръективным называется биективным.

3.8. Алгебраическая операция

Отображение f: Aⁿ  A называется n-местной алгебраической операцией на множестве A. Очевидно, что n-местная алгебраическая операция на множестве A является ( ) – местным отношением на множестве A. При операция f: A⁰  A есть {(, a)} для некоторого aA. Эта операция называется константой на множестве A и отождествляется с некоторым элементом a этого множества. При операция f называется унарной, а при - бинарной.

Примерами унарных операций являются:

1. Элементарные функции одного аргумента - и другие;

2. Операция над множествами – дополнение ;

3. Операции над отношениями – дополнение , обратное отношение , составное отношение и другие.

Примерами бинарных операций являются:

1. Арифметические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.

2. Операции над множествами – пересечение, объединение и разность.

3. Операция композиции функций, отображений, отношений.

Обозначим символом  произвольную бинарную алгебраическую операцию. Тогда операция над элементами , дающая результат записывается в виде ab = c.

Свойства бинарных операций:

1. Ассоциативность - (ab)с = a(bс). (Выполнение этого условия означает, что скобки в этом выражении можно не расставлять.)

2. Коммутативность - ab= ba.

3. дистрибутивность - (bc)=(ab)(ac) - дистрибутивность операции T слева относительно операции  и (ab)c=(ac)(bc) – дистрибутивность операции T справа относительно операции 

Способы задания операций

Унарные операции задаются:

1. Перечнем всех аргументов и соответствующих им значений :

   f=

2. Списком всех пар “аргумент – значение” для всех возможных значений аргументов: f={ }.

3. Формулой , например .

Бинарные операции задаются:

1. Таблицей (таблица Кэли). Слева и сверху таблицы выписываются все значения аргументов, а на пересечении строк и столбцов – результат операции. Например, для операции “сложение по модулю 3” на множестве {0,1,2} имеет следующий вид:

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

2. Списком, путем перечисления всех троек . Например, для предыдущей операции:

{(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2), (1.2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)}

3. Формулой или ab= c. Например: , где - операция сложения по модулю 3.