Тема 3. Отношения на множествах

3.1. Декартово произведение множеств

При задании конечных множеств не имеет значения порядок, в котором перечислены его элементы. Однако бывают случаи, когда необходимо работать с упорядоченными наборами элементов. Для этого необходимо познакомимся с упорядоченной парой элементов.

Упорядоченной парой называется запись вида , где на первом месте расположен элемент а, принадлежащий некоторому множеству А, а на втором месте – элемент . В частном случае множества А и В могут совпадать.

Множество всех упорядоченных наборов элементов вида таких, что и называется декартовым или прямым произведением множеств А и В и обозначается как . Следовательно, по определению:

.

Пример. Пусть и . Тогда:

;

.

Заметим, что при этом . Далее

.

Отметим, что если множества А и В конечны и , то .

Прямое произведение множеств может быть изображено графически. Для этого используется диаграмма Венна. В частности, для множества из предыдущего примера она имеет вид

	x
А
	y
					B

В качестве следующего примера рассмотрим произведение множества вещественных чисел R на самого на себя. Множество или состоит из всех упорядоченных пар вещественных чисел . Их можно представить себе как координаты точек на плоскости. Множество называется декартовой плоскостью.

Декартовым произведением произвольного числа множеств называется множество

.

Элементы этого множества – конечные упорядоченные наборы, с которыми работают все языки программирования и базы данных.

Если каждое из множеств совпадает со множеством А, то прямое произведение данного множества самого на себя, взятое раз называется степенью множества А и записывается в виде , то есть .

Пример. Пусть . Тогда множество состоит из всевозможных последовательностей нулей и единиц длины n. Такая последовательность называется булевым вектором (битовой строкой или строкой бит) длины n. Совокупность всех булевых векторов размерности n называется булевым кубом размерностью .